新人教版六年级数学上册讲义.docx

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新人教版六年级数学上册讲义

第一单元分数乘法

一、分数乘法的意义：

1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。

都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如：

×5表示求5个的和是多少？

也表示的5倍是多少？

5×表示求5的是多少？

2.分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如：

×表示求的是多少？

二、分数乘法的计算法则：

1.分数与整数相乘：

分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

（整数和分母约分）

2.分数与分数相乘：

用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

3.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

▲（注意：

当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

）

4.分数连乘的计算方法：

先约分，就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分，再用分子乘分子作积的分子，分母乘分母作积的分母。

三、规律：

（乘法中比较大小时）

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

四、分数混合运算的运算顺序

依据：

分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

①没有括号的混合运算：

同级运算从左往右一次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

②有括号的混合运算：

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

▲注：

加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。

五、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律：

a×b＝b×a

乘法结合律：

a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）＝（a×c）×b

乘法分配律：

a×（b＋c）＝a×b＋a×c  a×b＋a×c=a×（b＋c）

第三单元分数除法

一、倒数

1.倒数的意义：

乘积是1的两个数互为倒数。

▲强调：

互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。

（要说清谁是谁的倒数）

2.求倒数的方法：

①求分数的倒数：

交换分子分母的位置。

②求整数的倒数：

把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

③求带分数的倒数：

把带分数化为假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：

把小数化为分数，再求倒数。

▲倒数归纳：

①对于任意数，它的倒数为；非零整数的倒数为；分数的倒数是；

②1的倒数是1；0没有倒数。

因为1×1=1；0乘任何数都得0，（分母不能为0）

③真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

二、分数除法

1.分数除法的意义：

乘法:

因数×因数=积除法:

积÷一个因数=另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

2.分数除法的计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

3.规律（分数除法比较大小时）：

①当除数大于1，商小于被除数；

②当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

③当除数等于1，商等于被除数。

4.分数四则运算的顺序和整数的四则运算顺序相同。

①没有括号的混合运算：

同级运算从左往右一次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

②有括号的混合运算：

先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

▲注：

加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。

常见分数、小数互化表

1.熟练的掌握常见分数和小数的互化，对于提高运算速度，增强数感，有着很好的帮助。

2.记忆方法：

（1）可以用一张卡片盖住左边的分数，看着小数说出与相等的分数，再交换。

（2）C列分数化小数的记法：

分子乘5，小数点向左移动两位。

（3）D、E两列分数化小数的记法：

分子乘4，小数点向左移动两位。

第四单元比

一、比的意义

1.定义：

两个数的比表示两个数相除。

2.在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

比的后项不能为0，因为比的后项相当于除法中的除数，除数不能为0.

例如：

15：

10=15÷10=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）

前项比号后项比值

3.求比值的方法：

用比的前项除以比的后项。

4.区分比和比值

比：

表示两个数的倍数关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

（有比的前项和比的后项）

比值：

相当于商，是一个数，是一个结果，可以是整数，分数，也可以是小数。

5.根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

例如3：

2也可以写成，仍读作“3:

2”。

比和除法、分数的联系

名称

相互关系

区别

比

前项

比号“：

”

后项

比值

两个数的关系

除法

被除数

除号“÷”

除数

商

一种运算

分数

分子

分数线“—”

分母

分数值

一种数

6.根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

▲注：

体育比赛中出现两队的分是2：

0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

二、比的基本性质

1.根据比、除法、分数的关系：

商不变的性质：

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

比的基本性质：

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

2.最简整数比：

比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

3.根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

4.化简比：

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

②两个分数的比：

用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

③两个小数的比：

向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

小学数学常用运算定律

加法交换率

a＋b＝b＋a

加法结合律

a＋b＋c＝（a＋b）＋ca＋（b＋c）＝（a＋c）+b

乘法交换率

a×b＝b×a

乘法结合律

a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）＝（a×c）×b

乘法分配律

a×（b＋c）＝a×b＋a×c  a×b＋a×c=a×（b＋c）

减法的运算性质

a－b－c＝a－（b＋c）

除法的运算性质

a÷b÷c＝a÷（b×c）a÷（b×c）=a÷b÷c=a÷c÷b

a÷b×c＝a÷（b÷c）a÷（b÷c）=a÷b×c

第二单元位置与方向

（二）

回顾：

在地图上，人们通常是按照上北，下南，左西，右东来绘制地图的。

1.确定物体的位置必须具备两个条件：

一是方向，二是距离。

2.在平面图上标出物体位置的方法：

先确定方向，再确定距离，最后画出物体的具体位置，并标明名称。

确定方向时选择与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位；距离必须以选定的单位长度为基准来确定。

3.描述物体的位置与观测点有关。

观测点不同，物体位置的描述就不同。

“在”字后面的城市或人均为观测点。

4.在叙述物体的方向时，一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。

（靠近哪个方向就把那个方向放在前面），注意：

夹角与方向要对应。

5.两物体的位置关系是相对时，方向相反，度数相同，距离相等。

（东与西相对，南与北相对）

6.确定相对位置，要先确定观测点。

7.描述并绘制路线图时，先按行走路线确定观测点，再确定行走的方向和路程。

以谁为观测点，就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点的方向和距离。

每走到一个位置都要这样做。

▲工具：

刻度尺、量角器、铅笔

8.东偏南45°或者南偏东45°称为东南方向；

东偏北45°或者北偏东45°称为东北方向；

西偏南45°或者南偏西45°称为西南方向；

西偏北45°或者北偏西45°称为西北方向。

第五单元圆

一、圆的认识

1.圆的定义：

指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。

2.圆心：

这个给定的点称为圆的圆心。

（将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

）一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等。

▲（画圆切忌别忘记标圆心0）

3.半径：

连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

4.直径：

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

注：

（直径是一个圆内最长的线段。

）

5.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

6.在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

所有的半径都相等，所有的直径都相等。

7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。

用字母表示为：

d＝2r或r＝或r=d÷2

8.轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9.长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。

这些图形都是轴对称图形。

10.只有1一条对称轴的图形有：

角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是：

长方形

只有3条对称轴的图形是：

等边三角形

只有4条对称轴的图形是：

正方形;

有无数条对称轴的图形是：

圆、圆环。

二、圆的周长

1.圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

用字母C表示。

2.圆周率实验：

在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。

发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。

圆的周长总是它直径的3倍多一些。

3.圆周率：

任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π（pai）表示。

①一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。

在计算时，一般取π≈3.14。

②在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。

③世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4.圆的周长公式：

周长=直径×л或周长=2×л×半径

字母表示C=πd=2πrd=C÷π或r=C÷2π

5.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

6.区分周长的一半和半圆的周长：

①周长的一半：

等于圆的周长÷2计算方法：

2πr÷2即：

πr

②半圆的周长：

等于圆的周长的一半加直径。

计算方法：

πr＋2r

三、圆的面积

1.圆的面积：

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

用字母S表示。

2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

3.圆面积公式的推导：

①用逐渐逼近的转化思想：

体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。

②把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。

③拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长

因为：

长方形面积=长×宽

所以：

圆的面积=圆周长的一半×圆的半径

S圆=πr×r=πr2

圆的面积公式：

S圆=πr2r2=S÷π

圆的面积公式：

S圆=πr2÷2或S=πr2

圆的面积公式：

S圆=πr2÷4或S=πr2

4.环形的面积：

（环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差）

一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。

（R＝r＋环的宽度．）

环形的面积公式：

S环=πR²－πｒ²或S环=π（R²－ｒ²）。

▲求环形的面积一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和内圆的半径（r）

再代入公式计算。

一步一步的来，这样不容易错误。

注意用公式S环=π（R²－ｒ²）

计算时，要先算出2个平方数，再相减。

切忌相减后再平方。

5.扇形的面积计算公式：

S扇=πr