新人教版六年级数学上册讲义.docx

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新人教版六年级数学上册讲义

第一单元分数乘法

一、分数乘法的意义:

1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。

都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如:

×5表示求5个的和是多少?

也表示的5倍是多少?

5×表示求5的是多少?

2.分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。

例如:

×表示求的是多少?

二、分数乘法的计算法则:

1.分数与整数相乘:

分子与整数相乘的积做分子,分母不变。

(整数和分母约分)

2.分数与分数相乘:

用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。

3.为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。

▲(注意:

当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。

4.分数连乘的计算方法:

先约分,就是把所有的分子中可与分母相约的数先约分,再用分子乘分子作积的分子,分母乘分母作积的分母。

三、规律:

(乘法中比较大小时)

一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。

一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。

一个数(0除外)乘1,积等于这个数。

四、分数混合运算的运算顺序

依据:

分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

①没有括号的混合运算:

同级运算从左往右一次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。

②有括号的混合运算:

先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。

▲注:

加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。

五、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。

乘法交换律:

a×b=b×a

乘法结合律:

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)=(a×c)×b

乘法分配律:

a×(b+c)=a×b+a×c  a×b+a×c=a×(b+c)

 

第三单元分数除法

一、倒数

1.倒数的意义:

乘积是1的两个数互为倒数。

▲强调:

互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。

(要说清谁是谁的倒数)

2.求倒数的方法:

①求分数的倒数:

交换分子分母的位置。

②求整数的倒数:

把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。

③求带分数的倒数:

把带分数化为假分数,再求倒数。

④求小数的倒数:

把小数化为分数,再求倒数。

▲倒数归纳:

①对于任意数,它的倒数为;非零整数的倒数为;分数的倒数是;

②1的倒数是1;0没有倒数。

因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为0)

③真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。

二、分数除法

1.分数除法的意义:

乘法:

因数×因数=积除法:

积÷一个因数=另一个因数

分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。

2.分数除法的计算法则:

除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。

3.规律(分数除法比较大小时):

①当除数大于1,商小于被除数;

②当除数小于1(不等于0),商大于被除数;

③当除数等于1,商等于被除数。

4.分数四则运算的顺序和整数的四则运算顺序相同。

①没有括号的混合运算:

同级运算从左往右一次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。

②有括号的混合运算:

先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。

▲注:

加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。

 

常见分数、小数互化表

1.熟练的掌握常见分数和小数的互化,对于提高运算速度,增强数感,有着很好的帮助。

2.记忆方法:

(1)可以用一张卡片盖住左边的分数,看着小数说出与相等的分数,再交换。

(2)C列分数化小数的记法:

分子乘5,小数点向左移动两位。

(3)D、E两列分数化小数的记法:

分子乘4,小数点向左移动两位。

 

第四单元比

一、比的意义

1.定义:

两个数的比表示两个数相除。

2.在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

比的后项不能为0,因为比的后项相当于除法中的除数,除数不能为0.

例如:

15:

10=15÷10=(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)

前项比号后项比值

3.求比值的方法:

用比的前项除以比的后项。

4.区分比和比值

比:

表示两个数的倍数关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。

(有比的前项和比的后项)

比值:

相当于商,是一个数,是一个结果,可以是整数,分数,也可以是小数。

5.根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。

例如3:

2也可以写成,仍读作“3:

2”。

比和除法、分数的联系

名称

相互关系

区别

前项

比号“:

后项

比值

两个数的关系

除法

被除数

除号“÷”

除数

一种运算

分数

分子

分数线“—”

分母

分数值

一种数

6.根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。

▲注:

体育比赛中出现两队的分是2:

0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。

二、比的基本性质

1.根据比、除法、分数的关系:

商不变的性质:

被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。

分数的基本性质:

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。

比的基本性质:

比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。

2.最简整数比:

比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。

3.根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。

 

4.化简比:

①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

②两个分数的比:

用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。

③两个小数的比:

向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。

小学数学常用运算定律

加法交换率

a+b=b+a

加法结合律

a+b+c=(a+b)+ca+(b+c)=(a+c)+b

乘法交换率

a×b=b×a

乘法结合律

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)=(a×c)×b

乘法分配律

a×(b+c)=a×b+a×c  a×b+a×c=a×(b+c)

减法的运算性质

a-b-c=a-(b+c)

除法的运算性质

a÷b÷c=a÷(b×c)a÷(b×c)=a÷b÷c=a÷c÷b

a÷b×c=a÷(b÷c)a÷(b÷c)=a÷b×c

 

第二单元位置与方向

(二)

回顾:

在地图上,人们通常是按照上北,下南,左西,右东来绘制地图的。

1.确定物体的位置必须具备两个条件:

一是方向,二是距离。

2.在平面图上标出物体位置的方法:

先确定方向,再确定距离,最后画出物体的具体位置,并标明名称。

确定方向时选择与物体所在方向离得较近(夹角较小)的方位;距离必须以选定的单位长度为基准来确定。

3.描述物体的位置与观测点有关。

观测点不同,物体位置的描述就不同。

“在”字后面的城市或人均为观测点。

4.在叙述物体的方向时,一般先说与物体所在方向离得较近(夹角较小)的方位。

(靠近哪个方向就把那个方向放在前面),注意:

夹角与方向要对应。

5.两物体的位置关系是相对时,方向相反,度数相同,距离相等。

(东与西相对,南与北相对)

6.确定相对位置,要先确定观测点。

7.描述并绘制路线图时,先按行走路线确定观测点,再确定行走的方向和路程。

以谁为观测点,就以谁为中心画出方向标,然后判断出另一点的方向和距离。

每走到一个位置都要这样做。

▲工具:

刻度尺、量角器、铅笔

8.东偏南45°或者南偏东45°称为东南方向;

东偏北45°或者北偏东45°称为东北方向;

西偏南45°或者南偏西45°称为西南方向;

西偏北45°或者北偏西45°称为西北方向。

 

第五单元圆

一、圆的认识

1.圆的定义:

指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。

2.圆心:

这个给定的点称为圆的圆心。

(将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。

)一般用字母O表示。

它到圆上任意一点的距离都相等。

▲(画圆切忌别忘记标圆心0)

3.半径:

连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

4.直径:

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

注:

(直径是一个圆内最长的线段。

5.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。

6.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。

所有的半径都相等,所有的直径都相等。

7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。

用字母表示为:

d=2r或r=或r=d÷2

8.轴对称图形:

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

9.长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。

这些图形都是轴对称图形。

10.只有1一条对称轴的图形有:

角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

只有2条对称轴的图形是:

长方形

只有3条对称轴的图形是:

等边三角形

只有4条对称轴的图形是:

正方形;

有无数条对称轴的图形是:

圆、圆环。

二、圆的周长

1.圆的周长:

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

用字母C表示。

2.圆周率实验:

在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。

发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

圆的周长总是它直径的3倍多一些。

3.圆周率:

任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。

用字母π(pai)表示。

①一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。

圆周率π是一个无限不循环小数。

在计算时,一般取π≈3.14。

②在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。

③世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

4.圆的周长公式:

周长=直径×л或周长=2×л×半径

字母表示C=πd=2πrd=C÷π或r=C÷2π

5.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。

6.区分周长的一半和半圆的周长:

①周长的一半:

等于圆的周长÷2计算方法:

2πr÷2即:

πr

②半圆的周长:

等于圆的周长的一半加直径。

计算方法:

πr+2r

三、圆的面积

1.圆的面积:

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

用字母S表示。

2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

3.圆面积公式的推导:

①用逐渐逼近的转化思想:

体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。

②把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。

③拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长

因为:

长方形面积=长×宽

所以:

圆的面积=圆周长的一半×圆的半径

S圆=πr×r=πr2

圆的面积公式:

S圆=πr2r2=S÷π

圆的面积公式:

S圆=πr2÷2或S=πr2

圆的面积公式:

S圆=πr2÷4或S=πr2

4.环形的面积:

(环形的面积等于外圆面积与内圆面积的差)

一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。

(R=r+环的宽度.)

环形的面积公式:

S环=πR²-πr²或S环=π(R²-r²)。

▲求环形的面积一定要先想法分别求出外圆的半径(R)和内圆的半径(r)

再代入公式计算。

一步一步的来,这样不容易错误。

注意用公式S环=π(R²-r²)

计算时,要先算出2个平方数,再相减。

切忌相减后再平方。

5.扇形的面积计算公式:

S扇=πr

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