圆锥曲线的第三定义Word格式.docx
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点评:
其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答。
两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切。
题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。
变式1-1:
(石室中学2015级高二下4月18日周末作业)
已知双曲线的左右顶点分别为A、B,P为双曲线右支一点,且,求.
令,,则,由双曲线的第三定义知:
则:
与例题1采取同样的思路转化角,但对于正切转换的要求较高。
两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ,cosα=sinβ两角互余☆,则可解出α的值。
当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小,但既然提到了双曲线的第三定义,不妨做一做。
三、与均值定理有关的问题
例题2:
已知A、B是椭圆长轴的两个端点,M、N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM、BN的斜率分别为,且。
若的最小值为1,则椭圆的离心率为.
解答一(第三定义+均值):
由题意可作图如下:
连接MB,由椭圆的第三定义可知:
,而
解答二(特殊值法):
这道题由于表达式非常对称,则可直接猜特殊点求解。
时可取最值,则M、N分别为短轴的两端点。
此时:
。
对于常规解法,合理利用M、N的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来,既构造了“一正”,又构造了“二定”,利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。
当然将前的系数改为不相等的两个数,就不能利用特殊值法猜答案了,但常规解法相同,即变式2-1。
变式2-1:
变式2-2:
已知A、B是椭圆长轴的两个端点,若椭圆上存在Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为.
解答一(正切+均值):
令Q在x轴上方,则直线QA的倾斜角为,直线QB的倾斜角为。
,
由椭圆的第三定义:
,则
带入可得:
(取等条件:
,即Q为上顶点)
而tanx在单增,则Q为上顶点时,所以此时,故
解答二(极限法):
当Q趋近于A、B两点时,(此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧,相当于直径所对的圆周角);
当Q在A、B间运动时(Q在以AB为直径的圆内部,直径所对的圆周角=90°
),由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时。
由于:
椭圆上存在Q,使,那么Q为短轴端点时。
取临界情况,即Q为短轴端点时,此时;
当椭圆趋于饱满()时,椭圆趋近于圆,圆的直径所对的圆周角永远为90°
,不满足;
当椭圆趋于线段()时,,满足。
故。
当然这些只需要在头脑中一想而过,简洁而有逻辑。
这道题可以增加对于圆周角的理解,在用极限法讨论:
“当Q趋近于A、B两点时,”时能会颠覆“”的认知,当然这肯定是错的,结合常规解法可以看出此时是角最小的情况,而不是角最大的情况。
要搞清楚,不然会被弄晕的。
对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二:
①与第三定义发生联系②tanx在单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。
四、总结归纳
1.上述部分题目的常规解法较复杂,但做题时一定要能猜答案,而且要猜得有理由。
2.对于均值不等式,注意取等条件是“三相等”,即相等时取最值。
这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值,如:
例题2
3.极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值,如:
变式2-2中P在椭圆上滑动,角度的变化一定是光滑的(无突变,连续),所以只需考虑边界值。
4.做几何的选填题时,有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角,注意学会恰当运用,如:
变式2-2。
5.常以正切值刻画角度大小。
6.在做综合性较大的题目时要联系各种知识,灵活转化,以最巧妙的方法致胜。
7..
8..
五、方法链接
针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充,各附例题。
例题3:
在平面直角坐标系XOY中,给定两点和,点P在X轴上移动,当取最大值时,点P的横坐标为.
已知:
、,与x轴交于
令,则:
,,
1当时,
2当时,的倾斜角较大,
令,则()
此时,,
3当时,的倾斜角较大,
()
此时,,
由于,且在上单增,
,此时
解答二(圆周角定理):
本题中的取极值时的P点的几何意义为:
过M、N的圆与x轴切于P点。
下面给出证明:
以与x轴切于点的圆满足所求最大角为例:
由于是过M、N两点的圆的一条弦,由垂径定理知圆心在上
随着圆心横坐标从0开始增大:
当半径r较小时,圆与x轴无交点;
当半径稍大一点时,圆与x轴相切,有一个交点;
当半径更大一点时,圆与x轴有两交点、。
根据圆周角定理:
,可知:
圆与x轴相切时,。
R较小的情况(圆与x轴相离)R较大的情况(圆与x轴相交于、)
所以:
过M、N的圆与x轴切于、点时,分别有
只需比较与,哪一个更大。
令与x轴相切的圆的圆心为,则切点,半径为y
圆满足:
(消去y)
比较可知:
当x=1时,
常规方法依旧是利用正切度量角的大小,但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角,才能得到正角;
均值时要注意以分子(一次)为新元构建均值。
用圆周角角的性质解答,只要转化为切点,解一个方程组,比较两个角谁大就行了。
(不比较也行,画图可知右边角大于左边角:
弦长相等,半径越大,弦所对的圆周角越小。
)其实两种解法的难度是一样,只是一种要写得多,一种要想得多。
☆
变式3-1:
若G为△ABC的重心,且,则的最大值为.
解答一(余弦定理+均值):
令,,,则由
由点间的距离公式:
由余弦定理:
解法二(圆周角定理):
令,,,则
题目转化为:
,,满足:
,求的最大值。
目测可知时,,下面以来证明。
过,,作圆O:
若C不在点,令AC交圆O于Q点。
由圆周角定理:
证得
此时由余弦定理
可以说这道题与例题3有异曲同工之妙,直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。
其实余弦函数在单调,也可用来度量角的大小。
不过更值得一提的是两种方法以不同的方式,间接地表现了题中点的关系,设点的方式☆值得思考领悟。
解法一照顾垂直结论,把重心放在原点,利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标;
解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件,以同样方式刻画C点的坐标。
两种方式都完全的展现了题目中的关系。
例题4:
(对椭圆用均值):
过椭圆上一点P引圆O:
的两条切线PA、PB,其中A、B为切点,直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N,则△OMN面积的最小值为.
设,P点满足
在圆外,则圆的切点弦方程为:
解法巧妙,很难想到,权当欣赏。
注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程,当遇到面积表达式中含有时,可对椭圆进行均值,构造的范围。