0初等数论练习题及答案文档格式.docx

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同余方程3x2+11x-38≡0（mod5）的解为x≡0，3（mod5），

同余方程3x2+11x-20≡0（mod7）的解为x≡2，6（mod7），

故原同余方程有4解。

作同余方程组：

x≡b1（mod3），x≡b2（mod5），x≡b3（mod7），

其中b1=1，b2=0，3，b3=2，6，

由孙子定理得原同余方程的解为x≡13，55，58，100（mod105）。

2、判断同余方程x2≡42（mod107）是否有解？

故同余方程x2≡42（mod107）有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：

易知1271≡50（mod111）。

由502≡58（mod111），503≡58×

50≡14（mod111），509≡143≡80（mod111）知5028≡（509）3×

50≡803×

50≡68×

50≡70（mod111）

从而5056≡16（mod111）。

故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod111）

三、证明题

1、已知p是质数，（a，p）=1，证明：

（1）当a为奇数时，ap-1+（p-1）a≡0（modp）；

（2）当a为偶数时，ap-1-（p-1）a≡0（modp）。

证明：

由欧拉定理知ap-1≡1（modp）及（p-1）a≡-1（modp）立得

（1）和

（2）成立。

2、设a为正奇数，n为正整数，试证≡1（mod2n+2）。

……………

（1）

证明设a=2m+1，当n=1时，有

a2=（2m+1）2=4m（m+1）+1≡1（mod23），即原式成立。

设原式对于n=k成立，则有≡1（mod2k+2）⇒=1+q2k+2，

其中q∈Z，所以=（1+q2k+2）2=1+q'

2k+3≡1（mod2k+3），

其中q'

是某个整数。

这说明式

（1）当n=k+1也成立。

由归纳法知原式对所有正整数n成立。

3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。

≡（-1）k（modp）。

证明：

设A=得：

k!

·

A=（p-1）（p-2）…（p-k）≡（-1）（-2）…（-k）（modp）

又（k!

，p）=1，故A=≡（-1）k（modp）

4、设p是不等于3和7的奇质数，证明：

p6≡1（mod84）。

说明：

因为84=4×

3×

7，所以，只需证明：

p6≡1（mod4）p6≡1（mod3）p6≡1（mod7）同时成立即可。

于是x应为其中使5x≡1（mod12）成立的最小数，经计算知：

x=6。

1、试证13|（54m+46n+2000）。

（提示：

可取模13进行计算性证明）

54m+46n+2000≡252m+642n+2000≡（-1）2m+（-1）2n+2000≡2002≡0（mod13）。

2、证明Wilson定理的逆定理：

若n>

1，并且（n-1）!

≡-1（modn），则n是素数。

假设n是合数，即n=n1n2，1<

n1<

n，由题设易知（n-1）!

≡-1（modn1），得

0≡-1（modn1），矛盾。

故n是素数。

3、证明：

设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。

假设s是合数，即s=ab，1<

a，b<

s。

则

，其中M＞1是正整数。

由pa＞1也是正整数知ps是合数，这与题设矛盾。

故s也是一个素数。

4、证明：

若2p+1是奇素数，则（p!

）2+（-1）p≡0（mod2p+1）。

由威尔逊定理知-1≡（2p）!

=p!

（p+1）（2p）≡（-1）p（p!

）2（mod2p+1），

由此得（p!

5、设p是大于5的质数，证明：

p4≡1（mod240）。

可由欧拉定理证明）

因为240=23×

5，所以只需证：

p4≡1（mod8），p4≡1（mod3），p4≡1（mod5）即可。

事实上，由ϕ（8）=4，ϕ（3）=2，ϕ（5）=4以及欧拉定理立得结论。

初等数论练习题三

一、单项选择题

1、若n＞1，ϕ（n）=n-1是n为质数的（C）条件。

A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2、设n是正整数，以下各组a，b使为既约分数的一组数是（　D　）。

A.a=n+1，b=2n-1B.a=2n-1，b=5n+2C.a=n+1，b=3n+1D.a=3n+1，b=5n+2

3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（　A　）。

A.19B.24C.25D.30

4、不是同余方程28x≡21（mod35）的解为（　D　）。

A.x≡2（mod35）B.x≡7（mod35）C.x≡17（mod35）D.x≡29（mod35）

5、设a是整数，

（1）a≡0（mod9）

（2）a≡2010（mod9）

（3）a的十进位表示的各位数字之和可被9整除

（4）划去a的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除

以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（　C　）。

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

1、σ（2010）=_4896____；

（2010）=528。

2、数的标准分解式中，质因数7的指数是_3。

3、每个数都有一个最小质因数。

所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是97。

4、同余方程24x≡6（mod34）的解是x1≡13（mod34）x2≡30（mod34）_。

5、整数n>

1，且（n-1）!

+1≡0（modn），则n为素数。

6、3103被11除所得余数是_5_。

7、=_-1_。

三、计算题

1、判定（ⅰ）2x3-x2+3x-1≡0（mod5）是否有三个解；

（ⅱ）x6+2x5-4x2+3≡0（mod5）是否有六个解？

（ⅰ）2x3-x2+3x-1≡0（mod5）等价于x3-3x2+4x-3≡0（mod5），又x5-x=（x3-3x2+4x-3）（x2+3x+5）+（6x2-12x+15），其中r（x）=6x2-12x+15的系数不都是5的倍数，故原方程没有三个解。

（ⅱ）因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。

2、设n是正整数，求的最大公约数。

设知d∣22n-1，

设2k|n且2k+1n，即2k+1||n，

则由2k+1||，i=3，5，，2n-1得d=2k+1。

3、已知a=18，m=77，求使ax≡1（modm）成立的最小自然数x。

因为（18，77）=1，所以有欧拉定理知18ϕ（77）≡1（mod77）。

又由于ϕ（77）=60，所以x|60，而60的所有正因数为1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。

于是x应为其中使18x≡1（mod77）成立的最小数，经计算知：

x=30。

四、证明题

1、若质数p≥5，且2p+1是质数，证明：

4p+1必是合数。

因为质数p≥5，所以（3，p）=1，可设p=3k+1或p=3k+2。

当p=3k+1时，2p+1=6k+3是合数，与题设矛盾，从而p=3k+2，

此时2p+1是形如6k+5的质数，而4p+1=12k+9=3（4k+3）是合数。

注：

也可设p=6k+r，r=0，1，2，3，4，5。

再分类讨论。

2、设p、q是两个大于3的质数，证明：

p2≡q2（mod24）。

因为24=3×

8，（3，8）=1，所以只需证明：

p2≡q2（mod3）p2≡q2（mod8）同时成立。

事实上，由于（p，3）=1，（q，3）=1，所以p2≡1（mod3），q2≡1（mod3），

于是p2≡q2（mod3），由于p，q都是奇数，所以p2≡1（mod8），q2≡1（mod8），

于是p2≡q2（mod8）。

故p2≡q2（mod24）。

3、若x，y∈R+，

（1）证明：

[xy]≥[x][y]；

（2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。

我们知道，[x+y]≥[x]+[y]，{x+y}≤{x}+{y}。

此题把加法换成乘法又如何呢？

（1）设x=[x]+α，0≤α<

1，y=[y]+β，0≤β<

1。

于是

xy=[x][y]+β[x]+α[y]+αβ

所以[xy]=[x][y]+[β[x]+α[y]+αβ]≥[x][y]。

（2）{xy}与{x}{y}之间等于、大于、小于三种关系都有可能出现。

当x=y=时，{xy}={x}{y}=；

当x=，y=时，{xy}=，{x}{y}=，此时{xy}＞{x}{y}；

当x=-，y=-时，{xy}=，{x}{y}=，此时{xy}＜{x}{y}。

存在一个有理数，其中d<

100，能使=

对于k=1，2，….，99均成立。

由（73，100）=1以及裴蜀恒等式可知：

存在整数c，d，使得

73d-100c=1

从而-==，由k<

100可知：

0＜-＜

设=n，则＜n+1=，于是

＜≤=n+1，

故=n=。

初等数论练习题四

一、单项选择题

1、若Fn=是合数，则最小的n是（D）。

A.2B.3C.4D.5

2、记号ba‖a表示ba｜a，但ba+1a.以下各式中错误的一个是（B）。

A.218‖20!

B.105‖50!

C.119‖100!

D.1316‖200!

3、对于任意整数n，最大公因数（2n+1，6n-1）的所有可能值是（A）。

A.1B.4C.1或2D.1，2或4

4、设a是整数，下面同余式有可能成立的是（C）。

A.a2≡2（mod4）B.a2≡5（mod7）C.a2≡5（mod11）D.a2≡6（mod13）

5、如果a≡b（modm），c是任意整数，则下列错误的是