二项式定理典型例题Word文件下载.docx
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—x2•
282256
说明：
本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类
似地，（、“2汽3）10°
的展开式中有多少项是有理项？
可以通过抓通项中r的取值，得到共有系数和为3n•
2.
（1）求（1-x）3（1*X）10展开式中x5的系数；
（2）求（x1*2）6展开式中的常数项.
x
本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，
（1）可以
视为两个二项展开式相乘；
（2）可以经过代数式变形转化为二项式.
（1）（1-x）3（1•X）10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
用（1-X）3展开式中的常数项乘以（1x）10展开式中的x5项，可以得到C；
°
x5；
用
31044445
（1-X）展开式中的一次项乘以（1x）展开式中的x项可得到（-3x）（C1°
x）=-3C10X；
位。
10q233353
用（1—X）3中的x2乘以（1-x）10展开式中的X3可得到3xC10X=3CioX；
用（1—X）3中的
的常数项为C；
2二924.
问题
（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.
26c
3•求（1•x-X）展开式中X5的系数.
（1・x-x2）6不是二项式，我们可以通过1•X-X2=（1•x）-X2或1・（x-x2）
把它看成二项式展开.
方法一：
（1X-X2）6=（1•x）-x2f
65244
=（1x）-6（1x）x15（1x）x-
其中含X5的项为C：
X5-6C；
X515C4X5=6x5.
含x5项的系数为6.
方法二：
（1x-X2）6=1（x-x2）F
=16（X-X2）•15（x-X2）220（x-X2）315（x-X2）46（x-x2）5（x-x2）6
其中含X5的项为2O（-3）X515（-4）x56x5=6x5.
二x5项的系数为6.
方法3:
本题还可通过把（1•x-X2）6看成6个1•x-X2相乘，每个因式各取一项相乘
可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x,—个取1得到C6x5.
3132
3个因式中取x,—个取-X2，两个取1得到C6C3X・（-x）.
1222
1个因式中取X,两个取-X2，三个取1得到C6C5X{-X）•
合并同类项为（C；
-W，C；
c5）x5=6x5,X5项的系数为6•
12nn1
4•求证：
（1）Cn-2CnnCn二n2-；
（2）cn6；
1cn1（2n1-1）•
23n+1n+1
二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式
将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质
C0Cn-C2-C：
解:
（1）「=—n!
—=n•Z二ncn；
k!
（n—k）!
（k-1）!
（k_1）!
（n+k）!
•••左边=nC0_l+nC]_1+…+n
=n（C°
j-Cnj-Cnbn2n」工右边.
（2）
丄c）丄—n!
—
k1k1k!
（n-k）!
（n-k）!
1（n1）!
1屮1
Cn1•
n1（k1）!
n1
•左边=亠cr+—ch+…+丄
n1n1n1
—（C1n1C：
1•…C1）1（2n1-1）=右边.
n1n1
本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质
求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定
理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：
求
91089782
2C102C102Cw-2Cw10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与
（12）10的展开式接近，但要注意：
（1■2）1^c0oCo2Co22•…Co-29-C10-210
=121022C029C：
0210C10
289910
-12（102C『2G。
2C10）
从而可以得到：
10•2Cio•28C：
o•29C；
0=丄（310_1）•
5.利用二项式定理证明：
32n2-8n-9是64的倍数.
64是8的平方，问题相当于证明32n°
—8n-9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n2=9n1=（8•1）n1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起
来.
•/32n2-8n_9
=9n1_8n_9=（81）n1_8n_9
n11nn」2n
=8+Cn屮8+…+CnL8+Cn418+1—8n—9
-8n1C；
18n…1寸828（n1）1-8n_9
=8n1Cn18n……C行82
=（8n1C18n，㈡；
）64是64的倍数.
利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.
10
8.若将（x•y•z）展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.
A.11B.33C.55D.66
1010
（x•y•z）看作二项式[（xy）z]展开.
我们把yz看成（xy）z，按二项式展开，共有11“项”，即
（xyZ）10=[（x-y）■z]10=»
C^（x-y）10J<
zk.
k=0
这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式（x・y）10°
展开，
不同的乘积G0（x•y）10'
zk（k=0,1，…，10）展开后，都不会出现同类项.
下面，再分别考虑每一个乘积G0（x•y）10*zk（k=0,1，…，10）.
其中每一个乘积展开后的项数由（x•y）10*决定，
而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.
故原式展开后的总项数为1110^66,
•••应选D.
（1、
9.若x+丄—2I的展开式的常数项为—20,求n•
.2n
L-■,
•、X•——，其通项为
Jx丿
人1二C；
n（、X严（-1）r=（-1）rC2rnC.X）2n'
r,
vx
令2n-2r=0,得n=r,
•••展开式的常数项为（-1）nC；
n；
同理可得，展开式的常数项为（_1）nC；
n
无论哪一种情况，常数项均为（_1）nC；
令（-1）nC；
n20，以n=1,2,3，…，逐个代入，得n=3•10.I.G+丄］的展开式的第3项小于第4项，贝Ux的取值范围是
3x
首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.
〔厂1I0
使吋x+亍=I有意义，必须xa0；
<
VxJ
109
-10981
x:
:
3'
（Tx0）•
21
3213x
解得。
乂魯648•
•应填：
0■x85648.
9
•••x的取值范围是
1：
2：
3,这三项是第几项？
若
11.已知（Xlog2x•1）n的展开式中有连续三项的系数之比为展开式的倒数第二项为112，求x的值.
=1：
2：
3,
-k（n_k）
（n_k）（n_k+1）
k（k1）2
k（n-k）-3
1k
2n-k+1-2
（k1）_2
（n-k）_3
=n=14,k=5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知，c1143xlog2^112.即xlog2X=8.
两边取以2为底的对数，（log2x）2=3,log2x=.3,
•x=23，或x=2『弓.
当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.
12.（12x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项
和系数最大的项.
根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性；
确定二项式系数最大的项.
Te=Cn（2x）5,T7二C；
（2x）6，依题意有
C；
25=C；
26二n=8.
8444
•（12x）的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C8（2x）-1120x.
设第r1项系数最大，则有
c8-2>
c8A
c8-2r*
•••r=5或r=6（vr•二0,1,2,,8）.
•••系娄最大的项为：
T6=1792x5,T7=1792x6.
（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二
项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.
13.设f（xH（1x）m（1x）n（m,n・N.）,若其展开式中关于x的一次项的系数和
为11，问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？
并求这个最小值.
根据已知条件得到
x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨
最小值问题.
cmC：
=nm=11.
CmC
22
1/22、mn「11
（m-mn_n）=
110-2mn2
-11n55=（n
11299
）
24
•n=5或6,m=6或5时，x项系数最小，最小值为25.
11°
9911
二次函数y=（x）2的对称轴方程为x，即x=5.5，由于5、6距
11299
5.5等距离，且对n・N,5、6距5.5最近，所以（n）2的最小值在门=5或门=6
处取得.
14.若（3x-1）7=a7x7a6x6亠
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