高考数学模拟题《数学之友》.docx

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高考数学模拟题《数学之友》

2010高考数学模拟题（《数学之友》）

一、填空题

1．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为．

2．已知函数在区间[2，4]上是增函数，则实数的取值范围是．

3．已知点O为△ABC的外心，且，，则的值等于．

4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是．

5．若，，则对任意，使的概率为．

6.已知，函数的最小值是.

7.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是.

8．已知F1、F2分别是椭圆，的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于．

二、三角、立几、概率题

1．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量，，．

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，求△ABC面积的最大值．

2．如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：

MN//平面DAE．

3．从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：

甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．

（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；

（2）这种游戏规则公平吗？

说明理由．

三、解析几何题

1．已知过点的动直线与圆相交于两点，是中点，与直线相交于．

（1）求证：

当与垂直时，必过圆心;

（2）当时，求直线的方程;

（3）探索是否与直线的倾斜角有关?

若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

2．已知A、B是椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于M、N两点，经过A、M、N的圆的圆心为，经过B、M、N的圆的圆心为．

（1）求证为定值；

（2）求圆与圆的面积之和的取值范围．

3．已知圆，定点动圆过点，且与圆相内切．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）若过原点的直线与

（1）中的曲线C交于A，B两点，且的面积为，

求直线的方程．

4．已知圆C的圆心在抛物线上运动，且圆C过点，若MN为圆C在轴上截得的弦.

（1）求弦长；

（2）设，求的取值范围．

四、导数题

1．汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为，且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比，比例系数．

（1）试将水槽的最大流量表示成关于的函数；

（2）为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即当为多大时，单位时间内水槽的流量最大）．

2．某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．

（1）过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；

（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？

请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．

3．已知函数，（，且）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最小值．

4．函数．

（1）求函数的极值；

（2）已知在上是增函数，求的取值范围；

（3）在上最大值与最小值之差为，求的最小值．

五、数列题

1．已知等差数列{AN}的首项为a，公差为b，等比数列{BN}的首项为b，公比为a，其中a,b都是大于1的正整数，且a1

（1）求a的值；

（2）若对于任意的N*，总存在N*，使得成立，求b的值；

（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？

若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

2．已知数列的前n项和为，数列是公比为2的等比数列．

（1）证明：

数列成等比数列的充要条件是；

（2）设N*）．若对N*恒成立，求的取值范围．

3．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为（其中均为正整数）．

（1）若求数列、的通项公式；

（2）在

（1）的条件下，若成等比数列，求数列的通项公式；

（3）若且至少存在三个不同的值使得等式N）成立，试求、的值．

4．设数列是一个严格递增的正整数数列．

（1）若是该数列的其中两项，求证:

;

（2）若该数列的两个子数列和都是等差数列，求证:

这两个子数列的公差相等;

（3）若

（2）中的公差为1，求证:

并证明数列也是等差数列．

六、函数题

1．如图，海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中．

（1）若,求养殖场面积最大值；

（2）若、为定点，，在折线内选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积．

2．如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线的夹角为（海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离为海湾一侧海岸线上的一点，设，点D对跑道AB的视角为．

（1）将表示为的函数；

（2）求点D的位置，使取得最大值．

3．已知函数R，，

（1）求函数f（x）的值域；

（2）记函数，若的最小值与无关，求的取值范围；

（3）若，直接写出（不需给出演算步骤）关于的方程的解集．

4．已知函数R）且．

（1）试求所满足的关系式；

（2）若，方程在有唯一解，求的取值范围；

（3）若，集合，试求集合A；

5．已知．

（1）求的定义域；

（2）求的最大值和最小值；

（3）若，如何由

（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．

6．已知当点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动．

（1）求的解析式;

（2）求集合关于的方程有实根，;

（3）设，函数的值域为

求证：

．

七、理科附加题

1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为．

2．若随机事件A在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示A在1次试验中发生的次数．

（1）求方差D的最大值;

（2）求的最大值．

3．设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求在上的最小值；

（3）当时，用数学归纳法证明：

N*，