工程数学线性代数第五版答案04.docx

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工程数学线性代数第五版答案04

第四章　向量组的线性相关性

1设v1（110）Tv2（011）Tv3（340）T求v1v2及3v12v2v3

解v1v2（110）T（011）T

（101101）T

（101）T

3v12v2v33（110）T2（011）T（340）T

（312033121430210）T

（012）T

2设3（a1a）2（a2a）5（a3a）求a其中a1（2513）T

a2（101510）Ta3（4111）T

解由3（a1a）2（a2a）5（a3a）整理得

（1234）T

3已知向量组

Aa1（0123）Ta2（3012）Ta3（2301）T

Bb1（2112）Tb2（0211）Tb3（4413）T

证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示

证明由

知R（A）R（AB）3所以B组能由A组线性表示

由

知R（B）2因为R（B）R（BA）所以A组不能由B组线性表示

4已知向量组

Aa1（011）Ta2（110）T

Bb1（101）Tb2（121）Tb3（321）T

证明A组与B组等价

证明由

知R（B）R（BA）2显然在A中有二阶非零子式故R（A）2又R（A）R（BA）2所以R（A）2从而R（A）R（B）R（AB）因此A组与B组等价

5已知R（a1a2a3）2R（a2a3a4）3证明

（1）a1能由a2a3线性表示

（2）a4不能由a1a2a3线性表示

证明

（1）由R（a2a3a4）3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R（a1a2a3）2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示

（2）假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示

6判定下列向量组是线性相关还是线性无关

（1）（131）T（210）T（141）T

（2）（230）T（140）T（002）T

解

（1）以所给向量为列向量的矩阵记为A因为

所以R（A）2小于向量的个数从而所给向量组线性相关

（2）以所给向量为列向量的矩阵记为B因为

所以R（B）3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关

7问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1（a11）Ta2（1a1）Ta3（11a）T

解以所给向量为列向量的矩阵记为A由

知当a1、0、1时R（A）3此时向量组线性相关

8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式

解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使

1（a1b）2（a2b）0

由此得

设

则

bca1（1c）a2cR

9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？

试举例说明之

解不一定

例如当a1（12）T,a2（24）T,b1（11）T,b2（00）T时有

a1b1（12）Tb1（01）T,a2b2（24）T（00）T（24）T

而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的

10举例说明下列各命题是错误的

（1）若向量组a1a2am是线性相关的则a1可由a2am线性表示

解设a1e1（1000）a2a3am0则a1a2am线性相关但a1不能由a2am线性表示

（2）若有不全为0的数12m使

1a1mam1b1mbm0

成立则a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关

解有不全为零的数12m使

1a1mam1b1mbm0

原式可化为

1（a1b1）m（ambm）0

取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em为单位坐标向量则上式成立而a1a2am和b1b2bm均线性无关

（3）若只有当12m全为0时等式

1a1mam1b1mbm0

才能成立则a1a2am线性无关,b1b2bm亦线性无关

解由于只有当12m全为0时等式

由1a1mam1b1mbm0

成立所以只有当12m全为0时等式

1（a1b1）2（a2b2）m（ambm）0

成立因此a1b1a2b2ambm线性无关

取a1a2am0取b1bm为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2am线性相关

（4）若a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关则有不全为0的数12m使

1a1mam01b1mbm0

同时成立

解a1（10）Ta2（20）Tb1（03）Tb2（04）T

1a12a20122

1b12b201（3/4）2

120与题设矛盾

11设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关

证明由已知条件得

a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1

于是a1b1b2a3

b1b2b3a4

b1b2b3b4a1

从而b1b2b3b40

这说明向量组b1b2b3b4线性相关

12设b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组a1a2ar线性无关证明向量组b1b2br线性无关

证明已知的r个等式可以写成

上式记为BAK因为|K|10K可逆所以R（B）R（A）r从而向量组b1b2br线性无关

13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组

（1）a1（1214）Ta2（9100104）Ta3（2428）T

解　由

知R（a1a2a3）2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组

（2）a1T（1213）a2T（4156）a3T（1347）

解由

知R（a1Ta2Ta3T）R（a1a2a3）2因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1Ta2T线性无关所以a1Ta2T是一个最大无关组

14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

（1）

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

（2）

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组

15设向量组

（a31）T（2b3）T（121）T（231）T

的秩为2求ab

解设a1（a31）Ta2（2b3）Ta3（121）Ta4（231）T

因为

而R（a1a2a3a4）2所以a2b5

16设a1a2an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2en能由它们线性表示证明a1a2an线性无关

证法一记A（a1a2an）E（e1e2en）由已知条件知存在矩阵K使

EAK

两边取行列式得

|E||A||K|

可见|A|0所以R（A）n从而a1a2an线性无关

证法二因为e1e2en能由a1a2an线性表示所以

R（e1e2en）R（a1a2an）

而R（e1e2en）nR（a1a2an）n所以R（a1a2an）n从而a1a2an线性无关

17设a1a2an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示

证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2an线性无关而a1a2ana是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2an线性表示且表示式是唯一的

充分性已知任一n维向量都可由a1a2an线性表示故单位坐标向量组e1e2en能由a1a2an线性表示于是有

nR（e1e2en）R（a1a2an）n

即R（a1a2an）n所以a1a2an线性无关

18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak（2km）使ak能由a1a2ak1线性表示

证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使

1a12a2mam0

而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k（2km）使

k0k1k2m0

于是

1a12a2kak0

ak（1/k）（1a12a2k1ak1）

即ak能由a1a2ak1线性表示

19设向量组Bb1br能由向量组Aa1as线性表示为

（b1br）（a1as）K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R（K）r

证明　令B（b1br）A（a1as）则有BAK

必要性设向量组B线性无关

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有

rR（B）R（AK）min{R（A）R（K）}R（K）

及R（K）min{rs}r

因此R（K）r

充分性因为R（K）r所以存在可逆矩阵C使

为K的标准形于是

（b1br）C（a1as）KC（a1ar）

因为C可逆所以R（b1br）R（a1ar）r从而b1br线性无关

20设

证明向量组12n与向量组12n等价

证明将已知关系写成

将上式记为BAK因为

所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价

21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关

（1）记P（xAxA2x）求3阶矩阵B使APPB

解因为

APA（xAxA2x）

（AxA2xA3x）

（AxA2x3AxA2x）

所以

（2）求|A|

解由A3x3AxA2x得A（3xAxA2x）0因为xAx