高中数学 113 集合的基本运算 第二课时教案精讲 新人教A版必修1.docx

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高中数学113集合的基本运算第二课时教案精讲新人教A版必修1

2019-2020年高中数学1．1.3集合的基本运算第二课时教案精讲新人教A版必修1

[读教材·填要点]

1．全集

（1）定义：

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集．

（2）符号表示：

通常记作U.

2．补集

自然语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

[小问题·大思维]

1．已知集合A、∁UA（U为全集），则A∩（∁UA）与A∪（∁UA）各有什么特点？

提示：

A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U.

2．设U为全集，则∁U∅、∁UU、∁U（∁UA）分别表示什么集合？

提示：

∁U∅＝U，∁UU＝∅.

∁U（∁UA）＝A.

3．判断∁U（A∩B）＝（∁UA）∩∁UB，∁U（A∪B）＝（∁UA）∪（∁UB）是否正确．

提示：

不对．结合韦恩图可知

∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）

∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

简单的补集运算

[例1]　设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，求实数m的值．

[自主解答]　如图，∵U＝{0,1,2,3}，

∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}．

∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.

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（1）根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

（2）解题时要注意使用补集的几个性质：

∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪（∁UA）＝U.

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1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.

解：

借助Venn，如右图所示，

得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，

∴B＝{2,3,5,7}.

交、并、补的综合运算

[例2]　设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，（∁UA）∩（∁UB），（∁UA）∪（∁UB）．

[自主解答]　∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，

∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，

A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．

∵∁UA＝{0,2,3,4,6,9}，∁UB＝{0,1,2,7,8}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{0,2}，（∁UA）∪（∁UB）＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}．

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1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁UA∪B时，先求出A∪B，再求补集.

2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.

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2．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩（∁UB）]∪[B∩（∁UA）]＝（　　）

A．∅　　　　　　B．{x|x≤0}

C．{x|x>－1}D．{x|x>0，或x≤－1}

解析：

∵B＝{x|x≤－1}，∴∁UB＝{x|x>－1}．

又∵A＝{x|x>0}，∴A∩（∁UB）＝{x|x>0}．

又∵∁UA＝{x|x≤0}．

∴B∩（∁UA）＝{x|x≤－1}．

∴[A∩（∁UB）]∪[B∩（∁UA）]＝{x|x>0，或x≤－1}．

答案：

D

利用补集运算求参数范围

[例3]　设全集U＝R，M＝{x|3a＜x＜2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁UP，求实数a的取值范围．

[自主解答]

∁UP＝{x|x＜－2或x＞1}，

∵M∁UP，

∴分M＝∅，M≠∅，两种情况讨论．

（1）M≠∅时，如图可得

或

∴a≤－，或≤a＜5.

（2）M＝∅时，

应有3a≥2a＋5⇒a≥5.

综上可知，a≤－，或a≥.

——————————————————

1.M⊆N，一般分两种情况讨论：

①M＝∅，②M≠∅.

2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.

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3．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．

（1）若A⊆B，求a的取值范围；

（2）若全集U＝R，且A⊆（∁UB），求a的取值范围．

解：

∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，

（1）由A⊆B，结合数轴（如图所示）

可知a的范围为a≤－4.

（2）∵U＝R，∴∁UB＝{x|x＜a}，要使A⊆∁UB，

须a＞－2.

解题高手

妙解题

同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！

某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

[巧思]　先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．

[妙解]　设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．

设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则（15－x）＋x＋（10－x）＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.

[答案]　12

1．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3

A．∁R（A∪B）＝R　　　　　B．A∪（∁RB）＝R

C．（∁RA）∪（∁RB）＝RD．A∪B＝R

解析：

∵∁RA＝{x|3≤x≤5}，∁RB＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．

答案：

B

2.（xx·临沂一模）已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{－1,2}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{1,2}

解析：

图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以（∁UA）∩B＝{－1,2}．

答案：

A

3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{5,8}B．{7,9}

C．{0,1,3}D．{2,4,6}

解析：

因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{7,9}．

答案：

B

4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁UA＝{1}，则实数a的值是________．

解析：

∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁UA＝{1}，

∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.

答案：

－1或2

5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁AB＝________.

解析：

如图：

由数轴可知：

∁AB＝{x|0≤x<2，或x＝5}．

答案：

{x|0≤x<2，或x＝5}

6．设全集U＝{x|0

解：

U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，

∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．

一、选择题

1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{x|0≤x<1}B．{x|0

C．{x|x<0}D．{x|x>1}

解析：

画出数轴，如图所示，∁UB＝{x|x≤1}，则A∩（∁UB）＝{x|0

答案：

B

2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为（　　）

A．mnB．m＋n

C．n－mD．m－n

解析：

画出Venn图，如图．

∵U＝A∪B中有m个元素，

（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）中有n个元素，

∴A∩B中有m－n个元素．

答案：

D

3．已知集合A＝{x|x

A．a≥2B．a>2

C．a<2D．a≤2

解析：

∁RB＝{x|x≥2}，则由A∪（∁RB）＝R得a≥2.

答案：

A

4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是（　　）

①若A∩B＝∅，则（∁SA）∪（∁SB）＝S；

②若A∪B＝S，则（∁SA）∩（∁SB）＝∅；

③若A∪B＝∅，则A＝B.

A．0B．1

C．2D．3

解析：

①如图，（∁SA）∪（∁SB）＝S，正确．

②若A∪B＝S，则（∁SA）∩（∁SB）＝

∁S（A∪B）＝∅，故成立．

③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.

答案：

A

二、填空题

5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩（∁NB）＝________.

解析：

因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图（如图所示），

易得A∩（∁NB）＝{1,5,7}．

答案：

{3,9}　{1,5,7}

6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

解析：

∵A＝{x|x≥－m}，

∴∁UA＝{x|x<－m}．

又∵（∁UA）∩B＝∅，－m≤－2.

∴m≥2.

答案：

m≥2

7．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则（∁UA）∪（∁UB）＝________.

解析：

依题意得知，∁UA＝{c，d}，∁UB＝{a}，（∁UA）∪（∁UB）＝{a，c，d}．

答案：

{a，c，d}

8．已知全集U（U≠∅）和集合A、B、D，且A＝∁UB，B＝

∁UD，则A与D的关系是________．

解析：

A＝∁UB＝∁U（∁UD）＝D.

答案：

A＝D

三、解答题

9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁UA，（∁UB）∩A.

解：

∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴（如图）．

可知∁UA＝{x|1＜x≤4}，

∁UB＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴（如图）．

可知（∁UB）∩A＝{x|－1≤x≤0}．

10．xx年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？

解：

设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者