高中数学选修22推理与证明演绎推理Word文档格式.docx

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S是P

思考　

（1）演绎推理的结论一定正确吗？

（2）如何分清大前提、小前提和结论？

答案　

（1）演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.

（2）在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；

矩形是平行四边形，这是特例；

矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.

知识点二　演绎推理与合情推理的区别与联系

合理推理

演绎推理

区别

定义

根据已有的事实和正确的结论（包括实验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程

根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程

思维方法

归纳、类比

三段论

推理形式

由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理

结论不一定正确，有待于进一步证明

在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

作用

具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养

按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力

联系

合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；

数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明

题型一　用三段论的形式表示演绎推理

例1　把下列演绎推理写成三段论的形式.

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；

（2）一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

（3）三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数.

解　

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提

水会沸腾.结论

（2）一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除.结论

（3）三角函数都是周期函数，大前提

y＝tanα是三角函数，小前提

y＝tanα是周期函数.结论

反思与感悟　三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.

跟踪训练1　将下列演绎推理写成三段论的形式.

（1）0.332是有理数；

（2）y＝cosx（x∈R）是周期函数；

（3）Rt△ABC的内角和为180°

.

解　

（1）有限小数是有理数（大前提），0.332是有限小数（小前提），0.332是有理数（结论）.

（2）三角函数是周期函数（大前提），函数y＝cosx（x∈R）是三角函数（小前提），函数y＝cosx（x∈R）是周期函数（结论）.

（3）三角形内角和是180°

（大前提），Rt△ABC是三角形（小前提），Rt△ABC的内角和为180°

（结论）.

题型二　演绎推理在证明数学问题中的应用

例2　在锐角三角形中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

证明　∵在锐角三角形中，A＋B＞，

∴A＞－B，∴0＜－B＜A＜.

又∵在内，正弦函数是单调递增函数，

∴sinA＞sin＝cosB，

即sinA＞cosB，①

同理sinB＞cosC，②

sinC＞cosA.③

以上①②③两端分别相加，有：

sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.

反思与感悟　

（1）应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.

（2）数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.

跟踪训练2　

（1）设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证＋＋≥8.

（2）求证：

函数f（x）＝是定义域上的增函数.

证明　

（1）∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴1＝a＋b≥2，

即≤，

∴≥4，

∴＋＋＝（a＋b）＋

≥2·

2＋≥4＋4＝8.

当且仅当a＝b＝时等号成立，

∴＋＋≥8.

（2）函数定义域为R.

任取x1，x2∈R且x1＜x2.

则f（x1）－f（x2）

∵x1＜x2，，

∴f（x1）－f（x2）＜0.

∴f（x1）＜f（x2）.故f（x）为R上的增函数.

题型三　合情推理、演绎推理的综合应用

例3　如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.

（1）求证：

O为△BCD的垂心；

（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.

（1）证明　∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，

∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.

∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心.

（2）解　猜想：

S＋S＋S＝S.

证明如下：

连接DO并延长交BC于E，连接AE，

由

（1）知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·

ED，

∴2＝·

，

即S＝S△BOC·

S△BCD.

同理可证：

S＝S△COD·

S△BCD，

S＝S△BOD·

∴S＋S＋S＝S△BCD·

（S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·

S△BCD＝S.

反思与感悟　合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.

跟踪训练3　已知命题：

“若数列{an}是等比数列，且an>

0，则数列bn＝（n∈N*）也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？

并证明你的结论.

解　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：

若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列.

设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋（n－1），

所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列.

三段论中因忽视大（小）前提致误

例4　已知a，b，c∈R＋，且a，b，c不全相等，试比较＋＋与a＋b＋c的大小.

错解　因为a，b，c∈R＋，依基本不等式有

由三式相加得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①

又a2b2＋b2c2≥2＝2ab2c，

同理b2c2＋c2a2≥2abc2，

c2a2＋a2b2≥2a2bc，

三式相加得a2b2＋b2c2＋c2a2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②

由①②得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，又a，b，c∈R＋，

所以＋＋≥a＋b＋c.

错因分析　以上过程忽视了小前提“a，b，c不全相等”，因此①②两式中均为“＞”.

正解　∵a，b，c∈R＋，有

又a，b，c不全相等，故三式相加，得

a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.③

又a2b2＋b2c2≥2ab2c，

b2c2＋c2a2≥2abc2，

且a，b，c不全相等，三式相加得

a2b2＋b2c2＋c2a2＞a2bc＋ab2c＋abc2，④

由③④得a4＋b4＋c4＞a2bc＋ab2c＋abc2，

∵a，b，c∈R＋，

∴＋＋＞a＋b＋c.

防范措施　利用三段论推理时，正确使用大（小）前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.

1.下列推理中是演绎推理的是（　　）

A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′

B.某校高三

（1）班有55人，

（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人

C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质

D.在数列{an}中，a1＝1，an＝（n≥2），由此猜想出{an}的通项公式

答案　A

解析　B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理.故选A.

2.指数函数都是增函数，大前提

函数y＝x是指数函数，小前提

所以函数y＝x是增函数.结论

上述推理错误的原因是（　　）

A.大前提不正确

B.小前提不正确

C.推理形式不正确

D.大、小前提都不正确

解析　大前提错误.因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）在a＞1时是增函数，而在0＜a＜1时为减函数.故选A.

3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的周期是________.

答案　8

解析　f（x＋4）＝f（x＋2＋2）＝f（2－2－x）＝f（－x）＝－f（x），∴f（x＋8）＝f[4＋（4＋x）]＝－f（x＋4）＝－[－f（x）]＝f（x）.∴T＝8是它的周期.

4.设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3（n∈N*），则满足＜＜的所有n的和为________.

答案　7

解析　由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3（n≥2），两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1＝an（n≥2），即＝（n≥2），由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝3，S2n＝3，代入＜＜，可得＜n＜，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.

5.设a，b，c为正实数，求证：

＋＋＋abc≥2.

证明　因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得

＋＋≥3，即＋＋≥，

当且仅当a＝b＝c时取等号.

所以＋＋＋abc≥＋abc.

而＋abc≥2＝2，当且仅当＝abc，

即a＝b＝c＝时取等号.

所以＋＋＋abc≥2，当且仅当a＝b＝c＝时取等号.

数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.

一、选择题

1.下列表述正确的是（　　）

①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤

答案　D

解析　根据归纳推理，演绎推