平行线的特征mWord文档格式.docx

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证法一：

如下图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD（已知），

∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C（两直线平行，内错角相等），

∴∠AEC＝∠A＋∠C（等式性质）．（作出辅助线研究几何问题的常用方法）

即∠E＝∠A＋∠C．

证法二：

如上右图，过点E作EF∥AB，

∴∠A＋∠AEF＝180°

，

∠C＋∠CEF＝180°

（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠A＋∠AEF＋∠C＋∠CEF＝360°

（等式性质），

又∵∠AEC＋∠AEF＋∠CEF＝360°

（已知）

∴∠AEC＝∠A＋∠C（等量代换），

注以上两种证法都用到了平行线的性质，除此之外，请同学们作如下思考：

（1）试设想其他不同的证明方法；

（2）若变换图形或条件，你又会得到什么结论?

例2如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B和∠D相等吗?

为什么?

思路分析

本题的已知条件“平行”与要说明的∠B和∠D相等与否没有关系，因此首先要分析清楚∠B和∠D的位置关系．下面用两种方法说明∠B和∠D相等．

解法一：

∠B和∠D相等．推理过程如下：

∵AB∥CD，AD∥BC（已知），

∴∠A＋∠D＝180°

，∠A＋∠B＝180°

∴∠B＝∠D（同角的补角相等）．

解法二：

如图，连结BD．

（作出辅助线创造条件使用平行线的性质）

∴∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB（两直线平行，内错角相等），

∴∠ABD＋∠CBD＝∠BDC＋∠ADB（等式性质），

∴∠B＝∠D．

注在推理过程中，相同的推理步骤可以写在一起，如本例解法一和解法二中的第一步推理．

例3如图，已知AB∥CD，∠BAE＝40°

，∠ECD＝62°

，EF平分∠AEC．求∠AEF的度数．

要求∠AEF的度数，就要先求出∠AEC的度数．由于AB∥CD，而∠AEC并不是与这两条平行线有直接的联系．怎样才能使∠AEC与已知条件之间架起一座桥呢?

解：

过E点作EG∥AB．

∴EG∥CD（两条直线都平行于第三条直线，这两条直线也互相平行）．

∴∠AEG＝∠BAE＝40°

∠CEG＝∠ECD＝62°

（两直线平行，内错角相等），

∴∠AEC＝∠AEG＋∠CEG＝40°

＋62°

＝102°

．

∵EF平分∠AEC（已知），

∴∠AEF＝∠AEC＝51°

（角平分线定义）．

注∠AEF和∠BAE虽然也是一对内错角（AB、EF被AE所截得的内错角），但是它们是不相等的．因此要特别注意，内错角相等要在平行线的条件下才具备；

解题中作EG∥AB，这是利用平行线的性质，使问题得以转化而添加的辅助线（为了解决问题的需要添加的线称为辅助线，一般用虚线表示）．但是不可以同时作EG∥AB，EG∥CD，这里的EG∥CD是由推理的方法得到的．实际上由例1可得∠AEC＝∠A＋∠C＝102°

．当然由例1的证法二我们可以有另一种作辅助线的方法，也就有另一种计算∠AEC的度数的方法．

例4如下图，已知CB⊥AB，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC＋∠DCE＝90°

．求证：

DA⊥AB．

∵DE平分∠ADC（已知），

∴∠ADC＝2∠EDC（角平分线定义），

∵CE平分∠BCD（已知），

∵∠BCD＝2∠DCE（角平分线定义）．

∴∠ADC＋∠BCD＝2∠EDC＋2∠DCE＝2（∠EDC＋∠DCE）．

∵∠EDC＋∠DCE＝90°

（已知），

∴∠ADC＋∠BCD＝2×

90°

＝180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

又∵CB⊥AB（已知），∴DA⊥AB．

∵∠EDC＋∠DCE＋∠DEC＝180°

（三角形的内角和为180°

），

又∵∠EDC＋∠DCE＝90°

∴∠DEC＝90°

（等式性质）．

∵CB⊥AB（已知），

∴∠B＝90°

∴∠BEC＝90°

－∠BCE＝90°

－∠DCE．

∴∠AED＝90°

－∠BEC＝∠DCE．

同证法一，得∠EDC＋∠DCE＝90°

∴∠AED＋∠EDA＝90°

∴∠A＝90°

∴DA⊥AB．

注通过平行线的判定和性质，可以研究和解决两条直线互相垂直的位置关系，类似这样的问题会经常遇到．

【典型热点考题】

例1如图2—37，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于正、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°

，则∠2=______度．

（2002年，河南）

点悟：

如何求∠2?

——观察图形，分析条件，知道AB∥CD，故∠2=∠3，再联系角平分线EG及已知∠1的度数，故可求∠2．

∵AB∥CD,∴∠2=∠3．

又∴∠BEF+∠1=180°

∴∠BEF=180°

-∠1=180°

-72°

=108°

∵EG平分∠BEF，

∴

故∠2=54°

点拨：

本题的解答，充分利用了平行线的特征：

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补．

例2如图2—38，AB∥CD，AD∥BC，∠B与∠D相等吗?

如何寻求∠B与∠D的关系?

——因为∠B与∠D不是同位角、内错角以及同旁内角．所以不容易利用两对直线平行的条件．我们另辟蹊径：

连结肋，把∠B、∠D各分成两个角，再想办法利用已知条件。

连结BD．

∵AB∥CD，AD∥BC（已知），

∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）．

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式性质），

即∠B=∠D．

本题属于结论开放性题目．∠B与∠D是什么关系?

相等还是不相等?

请你去探索、分析，得到结论并说明你所得结论成立的理由．请同学们细心琢磨呵!

例3已知：

如图2—39，直线MN的同侧有三个点A、B、C，且AB∥MN，BC∥MN．

求证：

A、B、C三点在同一直线上．

合理的思维起点是过B点作BE交MN于E，借助平行线的特征，想办法证明∠1+∠3=180°

．即想办法证明∠1+∠3是—个平角．如图2—39．

证明：

过B点作BE交MN于E．

∵AB∥MN（已知），

∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．

∵BC∥MN（已知），

∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠2+∠4=180°

（平角的定义）

∴∠1+∠3=180°

（等量代换）

∴A、B、C三点在同一直线上．

本题提供的证明三点共线的方法是一种典型方法，请同学认真体会。

例4已知：

如图2—40，AB∥CD．

∠D+∠E+∠B=360°

如何充分而恰当的利用AB∥CD证出∠D+∠E+∠B=360°

是思维的关键．于是容易联想过E点作EF∥AB．此时有两条思维途径：

一条是过E点向右作EF∥AB；

一条是过E点向左作EF∥AB。

于是得到两种证明方法．

过E点作EF∥AB，如图2—41

∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）．

又∵AB∥CD（已知），

∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．

∵∠DEB+∠BEF+∠FED=360°

（周角定义），

∴∠E+∠B+∠D=360°

（等量代换）．

过E点作EF∥AB．如图2—42

∴∠B+∠FEB=180°

（两直线平行，同旁内角互补）．

又∵AB∥CD（已知），

∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线相互平行）．

∴∠D+∠FED=180°

∴∠B+∠FEB+∠D+∠DEF=360°

即∠B+∠E+∠D=360°

两种证法，反映了有效思维的两种途径．方法不同，但都可获得证明，这恰反映了思维的灵活性和广阔性．

例5求证：

三角形的内角和等于180°

在△ABC中，∠A、∠B、∠C是三个内角．想要证明∠A+∠B+∠C=180°

，也就是要想法证明∠A+∠B+∠C=一个平角．也就是想法把三个角集中到一块，用什么方法好呢?

——利用平行线特征，这就需要过A点作一条平行线，即可达到目的．

如图2—43，

过A作EF∥BC．

∴∠B=∠1，∠C=∠2．（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1+∠BAC+∠2=180°

∴∠B+∠BAC+∠C=180°

．（等量代换）

（1）聪明的同学会问：

过A点作EF∥BC，可达到证明的目的；

那么过B点或C点作平行线是不是也可行?

——均可行．这就是思维的灵活性；

（2）让思维飞扬起来：

本题可以推广吗?

——可以．三边形（即三角形）的内角之和为180°

；

四边形的内角和为2×

180°

（如图2—44）；

五边形的内角和为3×

……；

n边形的内角和为（n-2）180°

（n边形可以分为（n-2）个小三角形的内角和）．

【易错例题分析】

例如图2—45，AB∥CD，若∠ABE=120°

，∠DCE=35°

，则∠BEC=___________．

（2002年，广州）

如何求∠BEC∵AB∥CD，作EF∥AB，把∠BEC分成∠1、∠2，再分别求出∠1、∠2即可．

过E点作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．

则∠1=180°

-∠ABE=180°

-120°

=60°

，∠2=∠DCE=35°

∴∠BEC=∠1+∠2=60°

+35°

=95°

警示：

如果思维受阻，联想不到作EF∥AB，则会陷于束手无策的困境中．

【同步达纲练习】

一、选择题

1．如图2—46，两条直线被第三条直线所截，则（）

A.同位角必相等B．内错角必相等

C.同旁内角必互补D．同位角不一定相等

2．下列说法正确的