高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析.docx

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高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

1、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：

若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点P0（x0,y0）在曲线C上

f（x0,y0）=0；点P0（x0,y0）不在曲线C上

f（x0,y0）≠0。

两条曲线的交点：

若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0,则点P0（x0,y0）是C1，C2的交点

{

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1、定义：

点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：

（1）标准方程：

圆心在c（a,b），半径为r的圆方程是（x-a）2+（y-b）2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

（2）一般方程：

①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为

半径是

。

配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+

）2+（y+

）2=

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-

-

）;

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则｜MC｜＜r

点M在圆C内，｜MC｜=r

点M在圆C上，｜MC｜＞r

点M在圆C内，其中｜MC｜=

。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线与圆相交

有两个公共点；直线与圆相切

有一个公共点；直线与圆相离

没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离

与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

轨迹条件

点集：

（{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝

点集：

{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.

=±2a,｜F2F2｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.

图形

方

程

标准方程

（

>0）

（a>0,b>0）

参数方程

（t为参数）

范围

─a≤x≤a，─b≤y≤b

|x|≥a，y∈R

x≥0

中心

原点O（0，0）

原点O（0，0）

顶点

（a,0）,（─a,0）,（0,b）,（0,─b）

（a,0）,（─a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F1（c,0）,F2（─c,0）

F1（c,0）,F2（─c,0）

准线

x=±

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=

）

2c（c=

）

离心率

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：

双曲线

称为等轴双曲线，其渐近线方程为

，离心率

.

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

与

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：

的渐近线方程为

如果双曲线的渐近线为

时，它的双曲线方程可设为

.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线

=2px（p>0）的焦点坐标是（

0），准线方程x=-

，开口向右；抛物线

=-2px（p>0）的焦点坐标是（-

0），准线方程x=

，开口向左；抛物线

=2py（p>0）的焦点坐标是（0,

），准线方程y=-

　，开口向上；

抛物线

=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-

），准线方程y=

，开口向下.

（2）抛物线

=2px（p>0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离

；抛物线

=-2px（p>0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离

（3）设抛物线的标准方程为

=2px（p>0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为

，顶点到准线的距离

，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线

=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则弦长

=

+p或

（α为直线AB的倾斜角），

，

（

叫做焦半径）.

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：

设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是

.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则

或

叫做平移（或移轴）公式.

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表：

方程

焦点

焦线

对称轴

椭圆

+

=1

（±c+h,k）

x=±

+h

x=h

y=k

+

=1

（h,±c+k）

y=±

+k

x=h

y=k

双曲线

-

=1

（±c+h,k）

x=±

+k

x=h

y=k

-

=1

（h,±c+h）

y=±

+k

x=h

y=k

抛物线

（y-k）2=2p（x-h）

（

+h,k）

x=-

+h

y=k

（y-k）2=-2p（x-h）

（-

+h,k）

x=

+h

y=k

（x-h）2=2p（y-k）

（h,

+k）

y=-

+k

x=h

（x-h）2=-2p（y-k）

（h,-

+k）

y=

+k

x=h

六、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若

在椭圆

上，则过

的椭圆的切线方程是

.

6.若

在椭圆

外，则过

作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

.

7.椭圆

（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点

，则椭圆的焦点角形的面积为

.

8.椭圆

（a＞b＞0）的焦半径公式

（

）.

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11.AB是椭圆

的不平行于对称轴的弦，M

为AB的中点，则

，即

。

12.若

在椭圆

内，则被Po所平分的中点弦的方程是

；

【推论】：

1、若

在椭圆

内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

。

椭圆

（a＞b＞o）的两个顶点为

，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

.

2、过椭圆

（a＞0,b＞0）上任一点

任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且

（常数）.

3、若P为椭圆

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,

，则

.

4、设椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记

，则有

.

5、若椭圆

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤

时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为椭圆

（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

当且仅当

三点共线时，等号成立.

7、椭圆

与直线

有公共点的充要条件是

.

8、已知椭圆

（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且

.

（1）

;

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为

;（3）

的最小值是

.

9、过椭圆

（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

.

10、已知椭圆

（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

则

.

11、设P点是椭圆

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

，则

（1）

.

（2）

.

12、设A、B是椭圆

（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

（1）

.

（2）

.（3）

.

13、已知椭圆

（a＞b＞0）的右准线

与x轴相交于点

，过椭圆右焦点

的直线与椭圆相交于A、B两点,点

在右准线

上，且

轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注:

在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

P在右支；外切：

P在左支）

5、若

在双曲线

（a＞0,b＞0）上，则过

的双曲线的切线