高考数学几何概型Word文档下载推荐.docx

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②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；

③计算频率fn（A）＝作为所求概率的近似值．

概念方法微思考

1．古典概型与几何概型有什么区别？

提示　古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．

2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？

提示　几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（　√　）

（2）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（　√　）

（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（　√　）

（4）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（　√　）

（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（　×

　）

（6）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.（　×

题组二　教材改编

2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为（　　）

A.B.C.D．1

答案　B

解析　坐标小于1的区间为[0,1），长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（　　）

答案　A

解析　∵P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（D）＝，

∴P（A）>

P（C）＝P（D）>

P（B）．

4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　如题干图所示，区域D的面积为4，而阴影部分（不包括）表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.

题组三　易错自纠

5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

答案　3

解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m.

当0<

m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．

当2<

m<

4时，由题意得＝，解得m＝3.故m＝3.

6．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________．

答案　

解析　设AC＝xcm（0<

x<

12），则CB＝（12－x）cm，则矩形的面积S＝x（12－x）＝12x－x2（cm2）．由12x－x2<

32，

即（x－8）（x－4）>

0，解得0<

4或8<

12.

在数轴上表示，如图所示．

由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.

题型一　与长度、角度有关的几何概型

例1在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.

（1）在斜边AB上任取一点M，求|AM|<

|AC|的概率；

（2）在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<

|AC|的概率．

解　

（1）如图所示，在AB上取一点C′，使|AC′|＝|AC|，连接CC′.

由题意，知|AB|＝|AC|.

由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.

所以P（|AM|<

|AC|）＝＝＝.

（2）由于在∠ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在∠ACB内的任一位置（如图所示），因此基本事件的区域应是∠ACB，所以P（|AM|<

思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法

求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域（长度或角度）．

跟踪训练1　

（1）某公司的班车在7：

00，8：

00,8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析　如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，

得所求概率P＝＝，故选B.

（2）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

解析　因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.

题型二　与面积有关的几何概型

命题点1　与面积有关的几何概型的计算

例2（2017·

全国Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.

命题点2　随机模拟

例3

（1）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为（　　）

A．7.68B．8.68

C．16.32D．17.32

答案　C

解析　由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得＝0.68，而S矩形＝6×

4＝24，则S椭圆＝0.68×

24＝16.32.

（2）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．

答案　0.4

解析　根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527　9857　8636　6947　4698　8045　95977424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.

思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

跟踪训练2（2016·

全国Ⅱ）从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）

解析　由题意得（xi，yi）（i＝1,2，…，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，

∴π＝，故选C.

题型三　与体积有关的几何概型

例4如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于的概率为________．

解析　过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VM—ABCD＝时，即×

1×

h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.

思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

跟踪训练3在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（　　）

A.B.πC.D.

解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×

3＝π，

则此点落在正方体内部的概率P＝＝.

1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为（　　）

解析　在[0，π]上，当x∈∪时，sinx≤，故概率为＝.

2．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　区间[－1,3]的区间长度为4.

不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，

当1<

m≤3时，由题意得＝，解得m＝1（舍），

m≤1时，由＝，则m＝1.故m＝1.

3．（2018·

益阳市、湘潭市调考）若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于（　　）

解析　设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN（不包括M，N）上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率为＝，故选D.

4．（2018·

广东七校联考）在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率是（　　）

A．2－B．4－

C．－－D.

解析　设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24＝4πr2－6r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率为＝4－，故选B.

5．（2018·

石家庄模拟）已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）

解析　以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，

则＋＝，因为＋＋2＝0，

所以＋＝－2，得＝－2，

由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的，

所以S△PBC＝S△A