生物统计学教案8Word格式文档下载.docx

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164.664.567.871.869.2

265.365.366.372.168.2

364.864.667.170.069.8

466.063.766.869.168.3

565.863.968.571.067.5

和326.5322.0336.5354.0343.0

平均数65.364.467.370.868.6

例2从每窝均有4只幼仔的初生动物中，随机选择4窝，称量每只动物的出生重，结果如下：

窝别

IIIIIIIV

134.733.227.132.9

233.326.023.331.4

326.228.627.825.7

431.632.326.728.0

和125.8120.1104.9118.0

平均数31.45030.02526.22529.500

这两个例子都只有一个因素，例1是“品系”，例2是“窝别”。

在每个因素下，又有a个水平（或称为处理），例1有5个品系，例2

有4个窝别。

a个水平可以认为是a个总体，表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。

方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。

因为上述实验都只有一个因素，对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析”。

单因素方差分析的典型数据见下表。

X1X2X3…Xi…Xa

1x11x21x31xi1xa1

2x12x22x32xi2xa2

3x13x23x33xi3xa3

┇

jx1jx2jx3jxijxaj

nx1nx2nx3nxinxan

平均数x1.x2.x3.xi.xa.

表中的xij表示第i次处理下的第j次观测值，下标中的“.”表示求和，具体说明如下：

8.1.2不同处理效应与不同模型

线性统计模型：

模型中的xij是在i水平下的第j次观测值。

μ是对所有观测值的一个参数，称为总平均数。

αi是仅对第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应。

εij是随机误差成分，要求误差是服从N（0，σ2）的独立随机变量。

固定因素：

①因素的水平确定后，因素的效应即被确定。

②因素的a个水平是人为特意选择的。

③方差分析所得结论只适用于所

选定的a个水平。

固定效应模型：

处理固定因素所使用的模型。

随机因素：

①因素的水平确定之后，其效应并不固定。

②因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。

③从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。

随机效应模型：

处理随机因素所使用的模型。

8.2固定效应模型

8.2.1线性统计模型

其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此

如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。

因此，零假设为：

H0：

α1＝α2＝…＝αa＝0

备择假设为：

HA：

αi≠0（至少有一个i）

8.2.2平方和与自由度的分解

对于每个固定的xi.，

因此，

以SST表示总平方和，SSA表示处理平方和，SSe表示误差平方和，

三者关系为：

SST＝SSA＝SSe

自由度可做同样的分割：

dfT＝dfA+dfe

dfT＝an－1dfA＝a－1dfe＝an－a

为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。

MSe＝SSe/dfeMSA＝SSA/dfA。

8.2.3均方期望与统计量F

MSe是σ2的无偏估计量，证明如下：

用同样的方法可以得出MSA的均方期望。

因为E（εij）=0,故所有包含εij乘积项的数学期望都等于0

于是：

由以上结果可以看出，误差均方MSe是σ2的无偏估计量。

对处理项来说，只有当αi＝0时，MSA才是σ2的无偏估计量。

用MSA和MSe比较，便可以反映出αi的大小。

为此，使用统计量F作为检验统计量，做上尾单侧检验。

F=MSA/MSe，具dfA,dfe自由度，当F<

Fα时，接受零假设，处理平均数间不显著；

当F>

Fα时拒绝零假设，处理平均数间差异显著。

在

中，令

则处理均方可表示为

这时的零假设可以记为H0：

ηα2=0。

备择假设记为HA：

ηα2>

0。

将上述结果列在方差分析表中

变差来源平方和自由度均方F均方期望

处理间SSAa－1MSAMSA/MSeσ2+nηα2

误差SSena－aMSeσ2

总和SSTna－1

8.2.4平方和的简易计算

令

C称为校正项。

误差平方和

SSe＝SST－SSA

将例1中的每个数据都减去65，编码后列成下表。

1－0.4－0.52.86.84.2

20.30.31.37.13.2

3－0.2－0.42.15.04.8

41.0－1.31.84.13.3

50.8－1.13.56.02.5总和

xi.1.5－3.011.529.018.057.0

xi.22.259.00132.25841.00324.001308.50

Σxij21.933.4029.43174.4668.06277.28

将以上结果列成方差分析表：

变差来源平方和自由度均方F

品系间131.74432.9442.23**

误差15.58200.78

总和147.3224

**α＝0.01

F4，20，0.05＝2.87，F4，20，0.01＝4.43。

F>

F0.01。

P<

0.01因此，上述5个不同小麦品系株高差异极显著。

习惯上以“*”表示在α＝0.05水平上差异显著，以“**”表示在α＝0.01水平上差异显著。

8.3随机效应模型

8.3.1线性统计模型

其中μ为总平均数，αi为服从N（0，σα2）的独立随机变量，εij为服从N（0，σ2）的独立随机变量。

在随机模型中，不是检验单个处理效应的有无，而是检验αi是否存在变异性。

因此

接受H0表示处理间没有差异，拒绝H0意味着处理间存在差异。

8.3.2均方期望及统计量F

在随机模型中，因为αi是独立随机变量，因此MSA的数学期望与固定模型不同。

MSA的数学期望：

同理可证

用检验统计量F做上尾单侧检验：

F＝MSA/MSe。

Fa-1,an-a,α时拒绝H0。

MSA的期望组成除包含误差方差外，还包含处理项方差，表明不同处理间存在差异。

方差分析的程序与固定模型相同，但由于获得样本的方式不同，使之所得结果也不同。

随机模型适用于水平总体，而固定模型仅适用于所选定的a个水平。

以下是例2的计算结果，将每一数据均减去30。

4.73.2－2.92.9

3.3－4.0－6.71.4

－3.8－1.4－2.2－4.3

1.62.3－3.3－2.0总和

xi.5.80.1－15.1－2.0－11.2

xi.233.640.01228.014.00265.66

Σxij249.9833.4969.0332.86185.36

将上述结果列成方差分析表

变差来源平方和自由度均方F

窝间58.575319.5251.97

误差118.945129.912

总和177.62015

F3，12，0.05＝3.49，F<

F0.05，P>

0.05，接受H0。

结论是不同窝别动物出生重没有显著差异。

8.4多重比较

8.4.1最小显著差数法（LSD）

平均数差数的显著性检验公式为：

当n1＝n2时，

当差异显著时

后边式子，大于号的右侧称为最小显著差数，记为LSD。

8.4.2Duncan检验

检验程序：

①将需要比较的a个平均数依次排列好，使之：

并将每一对平均数的差列成下表：

②算出不同对平均数的差的临界值Rk。

其中

上式中的k是要比较的两个平均数之间所包含的平均数的个数。

当两个平均数相邻时k＝2，中间隔一个时k=3等。

平均数共有a个，所以需从附表9中查出a－1个rα，得到a－1个临界值Rk。

③每两个平均数的差与相应的临界值比较，显著的打上一个星花“*”，极显著的打上两个星花“**”。

下面对5个小麦品系株高平均数做duncan多重比较.

首先将平均数按从高到低顺序排列好。

品系号IVVIIIIII

平均数70.868.667.365.364.4

顺序号12345

根据MSe＝0.78，n＝5，df＝a（n－1）＝20，k＝2,3,4,5。

将临界值列成表。

k2345k2345

r0.052.953.103.183.25r0.014.024.224.334.40

Rk1.1651.2251.2561.284Rk1.5881.6671.7101.738

再以α＝0.05和α＝0.01水平上的临界值与下表中的平均数的差做比较，差异显著的打上“*”，差异极显著的打上“**”。

8.5.1方差分析应具备的条件

1、可加性：

各处理效应与误差效应是可加的。

2、正态性：

ε：

NID（0，σ2）

3、方差齐性：

各处理的误差方差应具备齐性。