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向量;
积分;
级数;
推广
TheProofandApplicationofCauchy-SchwartzInequality
09404222LIANGXiao-wenMathematicsandAppliedMathematics
FacultyadviserZHANGAn-ling
Abstract
Cauchy-Schwartzinequalityisakindofimportantinequalitywhichiswidelyusedinmathematics,anditisoftenasanimportantbasistosetupthebridgebetweenconditionandconclusion.Cauchy-Schwartzinequalitycanproveandpromoteotherinequalitiesandsolvecontestquestions,atthesametimeitisalsotheimportanttooltodiscovernewpropositions.Thepapermainlyusesone-variablequadraticinequality,quadraticequationinoneunknownandvectortoprovetheCauchy-Schwartzinequality,andthispaperintroducestheformsofCauchy-Schwartzinequalityinrealnumberfield,complexnumberfield,euclideanspace,calculusandprobabilitytheoryandthepromotionofCauchy-Schwartzinequality,andthepapergivessomeapplica-
tionsofCauchy-Schwartzinequalityinelementarymathematics,euclideanspace,calculus,seriesandprobabilitytheory.UsingtheCauchy-Schwartzinequalityflexiblycanmakesomerelativelydifficultproblemsgetmoresimpletosloveandcanevengetanone-offeffect.
Keywords:
Cauchy-Schwartzinequality;
vector;
integral;
series;
promotion
柯西—施瓦茨不等式的证明及其应用
09404222梁小文数学与应用数学
指导教师张安玲
1引言
柯西—施瓦茨不等式是贯穿数学学科的一个极为重要的不等式,遍及数学的每一个分支.它是由数学家布尼亚可夫斯基和施瓦茨彼此独立发现的.柯西—施瓦茨不等式有许多有趣的变形和推广,如改变不等式中变量组的个数,幂指数可得相应有穷不等式,不等式中变量的个数从有限到无限可导出其无穷不等式.柯西—施瓦茨不等式结构和谐,灵活巧妙的运用它,可以使一些较困难的实际问题得到比较简单的解决.并且柯西—施瓦茨不等式可以以不同的形式运用在实数域,维欧式空间,概率空间以及微积分等领域中.
2柯西—施瓦茨不等式的证明
定理（柯西-施瓦茨不等式）若,,,和,,,是任意实数,则.
等号当且仅当存在一个实数,使时成立.
2.1利用一元二次不等式证明
对每一个实数都有其中,等号当且仅当每一项都等于时成立.该不等式可以变形为
其中
如果,不等式显然成立.
如果，因为恒成立,所以,则
且等号当且仅当存在一个实数,使时成立.
2.2利用一元二次函数证明
当,,,全为零时,命题显然成立.
当,,,不全为零时,
令,
即,
这是关于的一元二次函数.
由于,恒成立,因此,判别式
化简得.
2.3利用向量证明
设,是两个维向量，
则,
由于,
因此,
两边平方得,
其中当时等号成立,即时,也即与共线时等号成立.
通过对柯西-施瓦茨不等式三种证明方法的比较,可以看出用几何方法处理代数问题的优越性.
3柯西—施瓦茨不等式在数学分支中的不同表现形式
3.1柯西—施瓦茨不等式在实数域中的表现形式
对任意实数,,,及,,,,有.等号当且仅当时成立.
3.2柯西—施瓦茨不等式在复数域中的表现形式
若,是两个复数序列,则有
当且仅当序列和成比例时等号成立.
3.3柯西—施瓦茨不等式在欧式空间中的表现形式
在一个欧氏空间里,,有不等式,当且仅当
与线性相关时等号成立.
3.4柯西—施瓦茨不等式在积分学中的表现形式
设和是上的实可积函数，则
当且仅当是线性相关函数时等号成立.
3.5柯西—施瓦茨不等式在概率论中的表现形式
对任意随机变量和都有,等号成立当且仅当存在一个常数,使得.
4柯西—施瓦茨不等式的推广
设,,,,则有不等式
当且仅当时等号成立.
证明要证原不等式只需证
.
令,,…,,
则,,,.
故只需证,
即只需证.
因为,,,,
由均值不等式有
同理有,
将上述式相加得
即有,
当且仅当,,,同时成立取等号,即时取等号,也即时取等号.
该命题还可以推广得到:
若级数与收敛,则有不等式.
证明因为与收敛,根据柯西—施瓦茨不等式有
且,
从而有不等式,
所以收敛.
一般地,若级数都收敛,则有不等式成立.
5柯西—施瓦茨不等式的应用
5.1柯西—施瓦茨不等式在初等数学中的应用
5.1.1证明恒等式
例1已知,求证.
证明由柯西—施瓦茨不等式得，
当且仅当时,上式取等号.
所以，
于是.
5.1.2证明不等式
例2已知正数,,满足,求证.
证明由条件,
即,
（1）
下面只需证，
即需证.
而,
（2）
知原不等式成立.
当且仅当即时
（1）处等号成立;
当且仅当即时
（2）处等号成立;
知时原不等式等号成立.
5.1.3解方程组
例3解方程组
解原方程组可化为
运用柯西—施瓦茨不等式得
两式相乘得.
当且仅当时等号成立,故原方程的解为.
5.2柯西—施瓦茨不等式在欧式空间中的应用
5.2.1求函数的极值
例4已知,求的最小值.
解构造向量,.
则，
=.
根据柯西-施瓦茨不等式,有
则的最小值为.
5.2.2求平面外一点到平面的距离
例5已知平面,点是平面外一点,求证点到平面的距离为.
证明设为平面上任意一点,构造向量
根据柯西-施瓦茨不等式，则有
由于平面上任意一点与定点之间的最短距离就是点到平面的距离,因而到平面的距离为
5.2.3证明不等式
例6设,,,且,求证.
证明构造向量,
则，
根据柯西-施瓦茨不等式,就有.
例7已知,.求证:
.
证明构造向量,
则
，
根据柯西-施瓦茨不等式,则有.
5.3柯西-施瓦茨不等式在微积分中的应用
例8若在上可积,且,则
证明由可积,且,知可积,从而,可
积,
于是根据,
得
例9设在上连续,则.
证明根据,
得.
例10若对任意的上可积,则
证明由,
知.
则
因为两边都大于等于零,且右边大括号内也大于等于零,所以
类似地,可用柯西—施瓦茨不等式证明积分中的一些不等式.如:
1）当时,有.
2）设在上连续,则.
5.4柯西—施瓦茨不等式在级数中的应用
若级数与收敛,则级数和也收敛,且，
例11若正项级数收敛,则收敛.
证明因为正项级数收敛,所以正项级数也收敛,根据以上结论可知,收敛.
例12若级数收敛,则级数也收敛.
证明因为级数和收敛,且,所以级数也收敛.
5.5柯西—施瓦茨不等式在概率论中的应用
例13在线性回归中，有样本关于系数
并且指数,且越接近于,相关程度越大,越接近于,则相关程度越小.现在可用柯西—施瓦茨不等式解释样本线性相关系数.
证明现记,
由柯西—施瓦茨不等式有.
（1）当时,
此时,,为常数.点均在直线上.
（2）当时,，
即
从而,为常数.
此时，,为常数,点均在直线附近,所以越接近于时,相关程度越大.
（3）当时，不具备上述特征，从而找不到合适的常数，使得点都在直线附近.所以,越接近于,则相关程度越小.
例14设随机变量与的相关系数存在,则,且的充要条件为与以概率线性相关，即存在常数,使,其中当时,;
当时,.
证明对随机变量与应用柯西-施瓦茨不等式，有,
即,所以,此时等式成立当且仅当存在,使得.
其中是方程当时的解.
显然,当时,,
即;
当时,，
即.
6结束语
文章主要利用一元二次不等式,一元二次函数和向量三种方法来证明柯西—施瓦茨不等式;
介绍了柯西—施瓦茨不等式在实数域,复数域,欧式空间,微积分和概率论中的不同表现形式;
将
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