高中数学人教A版选修22导数及其应用章末综合测评含答案解析版.docx

高中数学人教A版选修22导数及其应用章末综合测评含答案解析版.docx

《高中数学人教A版选修22导数及其应用章末综合测评含答案解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修22导数及其应用章末综合测评含答案解析版.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学人教A版选修22导数及其应用章末综合测评含答案解析版

　人教A版选修2-2导数及其应用

章末综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）

A．f′（x0）　　B．2f′（x0）

C．－2f′（x0）D．0

2．设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（　　）

A．1　　　B.　　　

C．－　　　D．－1

3．下列各式正确的是（　　）

A．（sina）′＝cosa（a为常数）

B．（cosx）′＝sinx

C．（sinx）′＝cosx

D．（x－5）′＝－x－6

4．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

5若函数f（x）＝x3－f′

（1）·x2－x，则f′

（1）的值为（　　）

A．0　　　　B．2　　　　

C．1　　　　D．－1

6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形（阴影部分）的面积是（　　）

图1

【答案】　C

7．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是（　　）

A．2　　　　　　　B．1

C．0D．由a确定

8．若函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（　　）

A．－5B．7

C．10D．－19

9．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f

（1）＝1，f′（x）>1，则f（x）>x的解集是（　　）

A．（0,1）B．（－1,0）∪（0,1）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

10．已知函数f（x）＝x2＋2x＋alnx，若函数f（x）在（0,1）上单调，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥0　B．a<－4

C．a≥0或a≤－4D．a>0或a<－4

11．曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（　　）

A.B．2

C．3D．2

12．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导数为f′（x），f′（0）>0，且对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为（　　）

A．3B.

C．2D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．（3x＋sinx）dx＝__________.

14.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

15．直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．

16．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，

（1）求P0的坐标；

（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

【解】　

（1）由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，

由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又因为点P0在第三象限，

所以切点P0的坐标为（－1，－4）．

（2）因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，

所以直线l的斜率为－，

因为l过切点P0，点P0的坐标为（－1，－4），

所以直线l的方程为y＋4＝－（x＋1），即x＋4y＋17＝0.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝aln（x＋1）＋x2－ax＋1（a>0）．

（1）求函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）当a>1时，求函数y＝f（x）的单调区间和极值．

【解】　

（1）f（0）＝1，f′（x）＝＋x－a＝，f′（0）＝0，所以函数y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.

（2）函数的定义域为（－1，＋∞），令f′（x）＝0，

即＝0.

解得x＝0或x＝a－1.

当a>1时，f（x），f′（x）随x变化的变化情况为

x

（－1,0）

0

（0，a－1）

a－1

（a－1，

＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调

递增

可知f（x）的单调减区间是（0，a－1），单调增区间是（－1,0）和（a－1，＋∞），极大值为f（0）＝1，极小值为f（a－1）＝alna－a2＋.

19．（本小题满分12分）（2016·菏泽高二检测）已知函数f（x）＝x2－mlnx，h（x）＝x2－x＋a，

（1）当a＝0时，f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（2）当m＝2时，若函数k（x）＝f（x）－h（x）在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

【解】　

（1）由f（x）≥h（x）在（1，＋∞）上恒成立，

得m≤在（1，＋∞）上恒成立，

令g（x）＝，则g′（x）＝，故g′（e）＝0，

当x∈（1，e）时，g′（x）<0；

x∈（e，＋∞）时，g′（x）>0.

故g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增，

故当x＝e时，g（x）的最小值为g（e）＝e.

所以m≤e.

（2）由已知可知k（x）＝x－2lnx－a，函数k（x）在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ（x）＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点，

φ′（x）＝1－＝，故φ′

（2）＝0，

所以当x∈[1,2）时，φ′（x）<0，所以φ（x）单调递减，

当x∈（2,3]时，φ′（x）>0，所以φ（x）单调递增．

所以φ

（1）＝1，φ（3）＝3－2ln3，φ

（2）＝2－2ln2，

且φ

（1）>φ（3）>φ

（2）>0，

所以2－2ln2

所以实数a的取值范围为（2－2ln2,3－2ln3]．

20．（本小题满分12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

【解】　

（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh（元），

底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元．

又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，

所以h＝（300－4r2），从而

V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）．

因为r>0，又由h>0可得r<5，

故函数V（r）的定义域为（0,5）．

（2）因为V（r）＝（300r－4r3），

所以V′（r）＝（300－12r2）．

令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（因为r2＝－5不在定义域内，舍去）．

当r∈（0,5）时，V′（r）>0，故V（r）在（0,5）上为增函数；

当r∈（5,5）时，V′（r）<0，故V（r）在（5,5）上为减函数．

由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

21．（本小题满分12分）抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

【解】　由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，

所以S＝（ax2＋bx）dx＝b3，①

又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组得

ax2＋（b＋1）x－4＝0，其判别式Δ＝0，

即（b＋1）2＋16a＝0.

于是a＝－（b＋1）2，代入①式得：

S（b）＝（b>0），S′（b）＝；

令S′（b）＝0，得b＝3，且当00；

当b>3时，S′（b）<0.

故在b＝3时，S（b）取得极大值，也是最大值，

即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且Smax＝.

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝＋，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为x＋2y－3＝0.

（1）求a，b的值；

（2）求证：

当x>0，且x≠1时，f（x）>.

【解】　

（1）f′（x）＝－，

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点（1,1），

故即解得

（2）证明：

由

（1）知，f（x）＝＋，

所以f（x）－＝.

设函数h（x）＝2lnx－（x>0），

则h′（x）＝－＝－.

所以当x≠1时，h′（x）<0，而h

（1）＝0，

所以当x∈（0,1）时，h（x）>0，得f（x）>；

当x∈（1，＋∞）时，h（x）<0，得f（x）>.

故当x>0，且x≠1时，f（x）>.

人教A版选修2-2导数及其应用

章末综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）

A．f′（x0）　　B．2f′（x0）

C．－2f′（x0）D．0

【解析】　

＝2＝2f′（x0），故选B.

【答案】　B

2．设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（　　）

A．1　　　B.　　　

C．－　　　D．－1

【解析】　y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.

【答案】　A

3．下列各式正确的是（　　）

A．（sina）′＝cosa（a为常数）

B．（cosx）′＝sinx

C．（sinx）′＝cosx

D．（x－5）′＝－x－6

【解析】　由导数公式知选项A中（sina）′＝0；选项B中（cosx）′＝－sinx；选项D中（x－5）′＝－5x－6.

【答案】　C

4．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

【解析】　f′（x）＝（x－2）ex，由f′（x）>0，得x>2，所以函数f（x）的单调递增区间是（2，＋∞）．

【答案】　D

5若函数f（x）＝x3－f′

（1）·x2－x，则f′

（1）的值为（　　）

A．0　　　　B．2　　　　

C．1　　　　D．－1

【解析】　f′（x）＝x2－2f′

（1）·x－1，则f′

（1）＝12－2f′

（1）·1－1，解得f′

（1）＝0.

【答案】　A

6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形（阴影部分）的面积是（　　）

图1

【答案】　C

7．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是（　　）

A．2　　　　　　　B．1

C．0D．由a确定

【解析】　f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x2＋2x＋1）＝3（x＋1）2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，无极值．故选C.

【答案】　C

8．若函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－