高三第三次模拟考试数学含答案Word下载.docx
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本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(本小题满分14分)
已知,,记函数.
(1)求函数取最大值时的取值集合;
(2)设的角所对的边分别为,若,,求面积的最大值.
16.(本小题满分14分)
在直三棱柱中,,,点分别是棱的中点.
(1)求证:
//平面;
(2)求证:
平面平面.
17.(本小题满分14分)
某地拟建一座长为米的大桥,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩、造价总共为万元,当相邻两个桥墩的距离为米时(其中),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元.
(1)试将桥的总造价表示为的函数;
(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于、两点.当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点的坐标为,点在第一象限且横坐标为,连结点与原点的直线交椭圆于另一点,求的面积;
(3)是否存在点,使得为定值?
若存在,请指出点的坐标,并求出该定值;
若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
设函数,.
(1)当时,函数与在处的切线互相垂直,求的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求的取值范围;
(3)是否存在实数,使得对任意正实数恒成立?
若存在,求出满足条件的实数;
20.(本小题满分16分)
设函数(其中),且存在无穷数列,使得函数在其定义域内还可以表示为.
(1)求(用表示);
(2)当时,令,设数列的前项和为,求证:
;
(3)若数列是公差不为零的等差数列,求的通项公式.
盐城市xx高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4—1:
几何证明选讲)
在中,已知是的平分线,的外接圆交于点.若,,求的长.
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
若矩阵属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵的逆矩阵.
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),试判断直线与曲线的位置关系,并说明理由.
D.(选修4-5:
不等式选讲)
已知为正实数,求证:
,并求等号成立的条件.
[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线交于点,,,,底面,设点满足.
(1)当时,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)若二面角的大小为,求的值.
23.(本小题满分10分)
设.
(1)若数列的各项均为1,求证:
(2)若对任意大于等于2的正整数,都有恒成立,试证明数列是等差数列.
数学参考答案
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.2.3.154.15.6.7.6
8.9.10.11.充分不必要12.13.14.5
15.解:
(1)由题意,得,
当取最大值时,即,此时,
所以的取值集合为.……………………………………7分
(2)因,由
(1)得,又,即,
所以,解得,在中,由余弦定理,
得,所以,所以面积的的最大值为.…14分
16.证明:
(1)在直三棱柱中,且,
因点分别是棱的中点,所以且,
所以四边形是平行四边形,即且,
又且,所以且,即四边形是平行四边形,
所以,又平面,所以平面.………………7分
(2)因,所以四边形是菱形,
所以,又点分别是棱的中点,即,所以.
因为,点是棱的中点,所以,
由直三棱柱,知底面,即,
所以平面,则,所以平面,又平面,
所以平面平面…………………………………………14分
17.解:
(1)由桥的总长为米,相邻两个桥墩的距离为米,知中间共有个桥墩,
于是桥的总造价,
即
()………………………………7分
(表达式写成同样给分)
(2)由
(1)可求,整理得,
由,解得,(舍),又当时,;
当时,,所以当,桥的总造价最低,此时桥墩数为…………………………14分
18.解:
(1)由,设,则,,
所以椭圆的方程为,因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点,即,代入椭圆方程,解得,于是,即,
所以椭圆的方程为………………………………5分
(2)将代入,解得,因点在第一象限,从而,
由点的坐标为,所以,直线的方程为,
联立直线与椭圆的方程,解得,
又过原点,于是,,所以直线的方程为,
所以点到直线的距离,………………10分
(3)假设存在点,使得为定值,设,
当直线与轴重合时,有,
当直线与轴垂直时,,
由,解得,,
所以若存在点,此时,为定值2.…………………………………………12分
根据对称性,只需考虑直线过点,设,,
又设直线的方程为,与椭圆联立方程组,
化简得,所以,,
又,
所以,
将上述关系代入,化简可得.
综上所述,存在点,使得为定值2……………16分
19.解:
(1)当时,,在处的切线斜率,
由,在处的切线斜率,,.……………4分
(2)易知函数的定义域为,
由题意,得的最小值为负,(注:
结合函数图象同样可以得到),,,(注:
结合消元利用基本不等式也可).……………………9分
(3)令,其中
则,设
在单调递减,在区间必存在实根,不妨设
即,可得(*)
在区间上单调递增,在上单调递减,所以,
,代入(*)式得
根据题意恒成立.
又根据基本不等式,,当且仅当时,等式成立
所以,.代入(*)式得,,即………………16分
(以下解法供参考,请酌情给分)
解法2:
,其中
根据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且,解得且,
即时上述条件成立此时.
解法3:
要使得对任意正数恒成立,
等价于对任意正数恒成立,即对任意正数恒成立,
设函数,则的函数图像为开口向上,与正半轴至少有一个交点的抛物线,
因此,根据题意,抛物线只能与轴有一个交点,即,所以.
20.解:
显然的系数为0,所以,从而,.………………………4分
(2)由,考虑的系数,则有,
得,即,
所以数列单调递增,且,
当时,.…………………………10分
(3)由
(2),
因数列是等差数列,所以,所以对一切都成立,
若,则,与矛盾,
若数列是等比数列,又据题意是等差数列,则是常数列,这与数列的公差不为零矛盾,
所以,即,由
(1)知,,所以.………16分
(其他方法:
根据题意可以用、表示出,,,,由数列为等差数列,利用,解方程组也可求得.)
由
(1)可知,,因为数列是等差数列,设公差为
,,.又由
(2),
所以得,若即时,,,与条件公差不为零相矛盾,因此则.由,可得
整理可得
代入,,或
若,则,与矛盾,
若,则,满足题意,所以
附加题答案
B.解:
由题意,得,解得,所以.
设,则,
解得,即.…………………………10分
C.解:
将直线与曲线的方程化为普通方程,
得直线:
,曲线:
,所以曲线是以为圆心,半径为的圆,所以圆心到直线的距离,因此,直线与曲线相交.…………………………10分
22.解:
(1)以为坐标原点,建立坐标系,则,,,,,所以,,.当时,得,所以,设平面的法向量,则,得,
令,则,所以平面的一个法向量,
所以,即直线与平面所成角的正弦值.………………5分
(2)易知平面的一个法向量.
设,代入,得,
解得,即,所以,
设平面的法向量,则,
消去,得,令,则,,
所以平面的一个法向量,
所以,解得或,因为,所以.……………10分
23.证:
(1)因数列满足各项为1,即,
由,令,
则,即..………………………3分
(2)当时,,即,所以数列的前3项成等差数列.
假设当时,由,可得数列的前项成等差数列,………………………………………………………………………5分
因对任意大于等于2的正整数,都有恒成立,所以成立,
两式相减得,
,
因,
即,
由假设可知也成等差数列,从而数列的前项成等差数列.
综上所述,若对任意恒成立,则数列是等差数列.…………………10分