余弦定理练习 含答案Word文档格式.docx
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+ca·
+ab·
=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=(a2+b2+c2)=.
4.在△ABC中:
(1)a=1,b=1,∠C=120°
求c;
(2)a=3,b=4,c=,求最大角;
(3)a:
b:
c=1:
:
2,求∠A、∠B、∠C.
【阐发】
(1)直接应用余弦定理即可;
(2)在三角形中,大边对大角;
(3)可设三边为x,x,2x.
【解析】
(1)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC
=12+12-2×
1×
(-)=3,∴c=.
(2)显然∠C最大,
∴cosC===-.∴∠C=120°
.
(3)因为a:
2,可设a=x,b=x,c=2x(x>
0).
由余弦定理,得cosA===,
∴∠A=30°
同理cosB=,cosC=0.∴∠B=60°
∠C=90°
【规律方法】
1.本题为余弦定理的最底子应用,应在此根本上闇练地掌握余弦定理的机关特色.
2.对于第(3)小题,按照已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可推敲用正弦定理求∠B,但要留心谈论解的情况.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.△ABC中,下列结论:
①a2>
b2+c2,则△ABC为钝角三角形;
②a2=b2+c2+bc,则∠A为60°
;
③a2+b2>
c2,则△ABC为锐角三角形;
④若∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则a:
3,
个中精确的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
【答案】A
【解析】①cosA=<
0,
∴∠A为钝角,精确;
②cosA==-,
∴∠A=120°
错误;
③cosC=>
∴∠C为锐角,但∠A或∠B不必定为锐角,错误;
④∠A=30°
∠B=60°
a:
2,错误.故选A.
2.△ABC的三内角A、B、C所对边长辨别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则∠C的大小为( )
C.D.π
【解析】∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)且p∥q,
∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0
即a2+b2-c2=ab,∴cosC===.
∴∠C=.
3.△ABC中,角A,B,C的对边辨别为a,b,c,∠A=,a=,b=1,则c等于( )
A.2B.3
C.+1D.2
【解析】由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,
所以()2=1+c2-2×
c×
cos,
即c2-c-6=0,解得c=3或c=-2(舍).故选B.
4.在不等边三角形ABC中,a为最大边,且a2<
b2+c2,则∠A的取值范围是( )
A.(,π)B.(,)
C.(,)D.(0,)
【答案】C
【解析】因为a为最大边,所以∠A为最大角,即∠A>
∠B,∠A>
∠C,故2∠A>
∠B+∠C.又因为∠B+∠C=π-∠A,所以2∠A>
π-∠A,即∠A>
.因为a2<
b2+c2,所以cosA=>
0,所以0<
∠A<
.综上,<
5.在△ABC中,已知a=4,b=6,∠C=120°
则sinA的值为( )
C.D.-
【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·
cosC=42+62-2×
4×
6(-)=76,
∴c=.由正弦定理得=,即=,
∴sinA==.
6.△ABC中,a、b、c辨别为∠A、∠B、∠C的对边,且2b=a+c,∠B=30°
△ABC的面积为,那么b等于( )
A.B.1+
C.D.2+
【解析】∵2b=a+c,又因为∠B=30°
∴S△ABC=acsinB=acsin30°
=,解得ac=6,
由余弦定理:
b2=a2+c2-2accosB
=(a+c)2-2ac-2ac·
cos30°
=4b2-12-6,
即b2=4+2,由b>
0解得b=1+.
7.在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则这个三角形必定是()
A.锐角三角形或钝角三角形
B.以a或b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.等边三角形
【解析】由余弦定理acosA+bcosB=ccosC可变成a·
+b·
=c·
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)
a2b2+a2c2-a4+b2a2+b2c2-b4=c2a2+c2b2-c4
2a2b2-a4-b4+c4=0,
(c2-a2+b2)(c2+a2-b2)=0,
∴c2+b2=a2或a2+c2=b2,
∴以a或b为斜边的直角三角形.
8.若△ABC的周长等于20,面积是10,∠A=60°
则BC边的长是( )
A.5B.6
C.7D.8
【解析】依题意及面积公式S=bcsinA,
得10=bc×
sin60°
即bc=40.
又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°
=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
故a2=(20-a)2-120,解得a=7.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,三边长AB=7,BC=5,AC=6,则·
的值为________.
【答案】-19
【解析】由余弦定理可求得cosB=,∴·
=||·
||·
cos(π-B)=-||·
cosB=-19.
10.已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________.
【答案】a
【解析】如图,AB=AC=2a,BC=a,BD为腰AC的中线,过A作AE⊥BC于E,在△AEC中,cosC==,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·
CD·
cosC,即BD2=a2+a2-2×
a×
=a2,∴BD=a.
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出需要的文字说明、证实过程或演算步调)
11.在△ABC中,已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosB·
cosC,试判断三角形的外形.
【阐发】 解决本题,可辨别应用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解.
【解析】方法一:
由正弦定理===2R,R为△ABC外接圆的半径,将原式化为
8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.
∵sinBsinC≠0,sinBsinC=cosBcosC,
即cos(B+C)=0,∴∠B+∠C=90°
∠A=90°
故△ABC为直角三角形.
方法二:
将已知等式变成b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.
由余弦定理可得:
b2+c2-b2·
()2-c2()2=2bc·
·
即b2+c2=
也即b2+c2=a2,故△ABC为直角三角形.
【规律方法】 在应用正弦定理实施边角转化时,等式两边a,b,c及角的正弦值的次数必须相同,不然不克不及互相转化.
12.(2013·
全国新课标Ⅰ,理)如图,在△ABC中,∠ABC=90°
AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°
求tan∠PBA.
(1)由已知得,∠PBC=60°
∴∠PBA=30°
在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2×
×
=,∴PA=.
(2)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,
在△PBA中,由正弦定理得=,化简得,cosα=4sinα,
∴tanα=,∴tan∠PBA=.