精编高考数学理科专题突破练习题7概率与其他知识的交汇和答案Word格式.docx
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3＝12个．直线y＝kx＋b不经过第四象限，要求k>
0，b>
0，满足此要求的基本事件共有2个，所以直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为＝.
5．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，则μ等于（ ）
A．1B．2C．4D．不能确定
解析 函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<
0，即ξ>
4，根据正态曲线的对称性，当函数f（x）＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.
6．已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0,32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：
若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<
ξ<
μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ<
μ＋2σ）＝95.44%.）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
答案 B
解析 P（－3<
3）＝68.26%，P（－6<
6）＝95.44%，则P（3<
6）＝×
（95.44%－68.26%）＝13.59%.
7．在区间上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x2＋ax－b2＋1没有零点的概率是（ ）
答案 D
解析 因为函数f（x）＝x2＋ax－b2＋1没有零点，所以Δ＝a2－4b2＋1<
0，得a2＋b2<
4，作出以及a2＋b2<
4表示的可行域如图所示，
故由几何概型得所求概率为P＝＝＝.故选D.
二、填空题
8．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲>
乙的概率是________.
答案
解析 乙的综合测评成绩为86,87,91,92,94，乙＝＝90，污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，而甲>
乙发生对应的数字有6,7,8,9，共4种，故甲>
乙的概率为＝.
9．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：
x＋ay＝3，l2：
bx＋6y＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x－m）2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是________．
答案 －<
m<
解析 由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的（a，b）为（1,6），（2,3），（3,2），而所有的（a，b）有6×
6＝36种，
∴P1＝，P2＝，∴2＋2<
，解得－<
.
10．若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于e的概率为________．
答案 1－
解析 设两个随机数为x，y，
则且xy≥e，即y≥.作出不等式组对应的
平面区域以及y≥对应的区域如图所示，则阴影部分的面积为
三、解答题
11.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据：
x
1
2
3
4
5
y
0.02
0.05
0.1
0.15
0.18
（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）根据
（1）得到的回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）．
附：
＝，＝－.
解
（1）经计算＝0.042，＝－0.026，所以线性回归方程为＝0.042x－0.026.
（2）由
（1）中回归方程可知上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率就增加0.042个百分点．
由＝0.042x－0.026>
0.5，解得x≥13，预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.
12.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：
平均每天锻炼
的时间（单位：
分钟）
[0,10）
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均课外体育锻炼时间在从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内的频率之比为4∶2∶1.
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的频率为x，则产品质量指标值落在区间内的频率为0.05.
（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B（n，p），其中n＝3.
由
（1）得产品质量指标值落在区间如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回（往返共两天）．
空气质量指数
污染程度
小于100
优良
大于100且小于150
轻度
大于150且小于200
中度
大于200且小于300
重度
大于300且小于500
严重
大于500
爆表
（1）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？
（只写出结论不要求证明）
（2）求此人到达当日空气质量优良的概率．
（3）设X是此人出差期间（两天）空气质量中度或重度污染的天数，求X的分布列与数学期望．
解
（1）从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（2）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”（i＝1,2，…，13），
根据题意，P（Ai）＝，且Ai∩Aj＝∅（i≠j）．
设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13，
所以P（B）＝P（A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13）＝.
（3）由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，且
P（X＝1）＝P（A4∪A6∪A7∪A9∪A10∪A11）＝，
P（X＝2）＝P（A5∪A8）＝P（A5）＋P（A8）＝，
P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝.
所以X的分布列为：
X
P
故X的数学期望E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＝.
15．汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品牌汽车4S店为了了解A，B，C三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1.
（1）某公司一次性从4S店购买该品牌A，B，C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车一年内需要维修的车辆数，求ξ的分布列及数学期望．（把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）．
（2）该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如下表2.
预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从＝bx＋a，（b＝－0.2，a＝－b）的关系，且该产品的成本是500元/件，为使4S店获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为多少元？
表1
车型
A
B
C
频数
表2
单位x（元）
800
820
840
860
880
900
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
解
（1）根据表格，A型车维修的概率为，B型车维修的概率为，C型车维修的概率为.
由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，
P（ξ＝0）＝×
×
＝；
P（ξ＝1）＝×
＋×
P（ξ＝2）＝×
P（ξ＝3）＝×
所以ξ的分布列为：
ξ
所以E（ξ）＝0×
＋3×
（2）设获得的利润为w元，根据计算可得＝850，＝80，
代入回归方程得＝－0.2x＋250.
所以w＝（－0.2x＋250）（x－500）＝－0.2x2＋350x－125000，
该函数图象是开口向下，以直线x＝－＝875为对称轴的抛物线，
所以当x＝875时，w取得最大值，即为使4S店获得最大利润，该产品的单价应定为875元．
16．某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需要操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．
（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数；
（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的概率小于0.6.试探讨：
一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．
解
（1）用X表示4台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布X～B，
所以P（X＝k）＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
于是E（X）＝4×
＝1.
（2）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数．
①当n＝1时，X服从两点分布：
此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为>
0.60；
②当n＝2时，P（X＝k）＝Ck2－k，k＝0,1,2.即X的分布列为：
2×
此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为1－＝＝0.9375>
0.9.工作人员待工而闲的概率为2＝0.5625<
③
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