矩阵理论Word下载.docx

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（1）,　　

（2）.

6.　已知矩阵

验证是正规矩阵,并求的谱分解表达式。

７.　已知3阶矩阵

的二重特征值对应两个线性无关的特征向量

（１）求；

（2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵;

（３）求的谱分解表达式。

8．　已知矩阵

验证是正规矩阵，并求的谱分解表达式。

9.　已知矩阵

验证是单纯矩阵,并求的谱分解表达式。

１０.设

问取何值时，有。

１1．　判断矩阵幂级数的敛散性。

１2.已知　　　，

（１）求证：

矩阵幂级数收敛。

（２）求矩阵幂级数的收敛和。

13.已知为一个n阶矩阵,且,求。

１4．已知矩阵的某种范数,求。

１5.已知,求,,,.

16.已知矩阵,求矩阵函数的多项式表示,并计算,,，

（1）　

（2）

1７.求解线性常系数奇次微分方程

，　　其中。

１８.求解线性常系数非奇次微分方程

其中，。

19．　求解线性常系数非奇次微分方程

20．　求微分方程组

满足初始条件的解。

２1．　求矩阵的谱分解。

２2.设求。

２3．矩阵的序列收敛于０。

２４.已知三阶方阵的初等因子为，求的约当标准形和最小多项式

25..已知,求。

答

26．，求答:

27.设是四维线性空间的一组基,线性变换在这组基下的矩阵为

求在基下的矩阵。

2８.设且谱半径,求级数的和。

29.．设,试计算：

３0．用圆盘定理估计矩阵的特征值分布范围。

3１.求　的解。

3２.设,证明:

当时，　并求　

33.求方程组:

的通解。

3４．.证明：

（阵）的充分条件是：

存在一方阵范数，使得。

证明：

３5.　设是内积空间的一个变换。

证明:

如果保持向量的内积不变,即

则T一定是线性变换，因而是正交变换。

3６.已知6阶矩阵的初等因子组为，求的行列式因子,不变因子,若当标准形。

37．已知求;

3８.判断的敛散性

39．　求的子空间

的交的一组基。

40.设且谱半径,求级数的和。

4１.设，试计算。

42．.估计矩阵的特征值以及其实部和虚部的界限。

43．设，计算　

４4.求微分方程组

４５.求矩阵的谱分解。

４6..设分别是齐次线性方程组与的解空间，试证明。

47.设，是上的矩阵序列，若，，则

。

４８．非齐次微分方程组的解：

ﻩ

其中

49.设，则对任何矩阵范数，都有。

50.设，求。

５1．设，且，求级数的和。

52.求矩阵的约当标准形。

53.求的最小多项式。

5４.讨论的敛散性。

55.已知，对于矛盾线性方程组,使得为最小的向量称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。

５6.设是三维欧氏空间V的一组标准正交基,试求V的一个正交变换T，使得

5７.设线性空间上的线性变换在基下的矩阵为:

试求在基下的矩阵

５８．用最小二乘法解方程组：

59.．设矩阵A,Ｂ的不变因子分别为:

试分别写出其初等因子组。

60.求矩阵的特征矩阵的不变因子与初等因子。

61.已知6阶矩阵A的初等因子组为

求A的约当标准形与不变因子。

62.求的约当标准形

63.求的标准形

64.设求

65．设　　求

６6.设　　　求

67.证明:

对

绝对收敛

６8．设　求　　,，

６9.　设求，

７0.求微分方程组

7１.设　求

72.设　求

73设,且,方程有解,试求约束极小化问题

的解,也就是求函数在约束下的极小点和极小值。

74.设实数域上的多项式空间中的多项式在线性变换下的像为,求线性变换的值域和核空间的基与维数。

７5.设,,求。

3.求矩阵的谱分解。

７６.求微分方程组和满足初始条件的解。

77.证明矩阵的幂序列收敛于０的充分必要条件是。

78.求矩阵的Jｏｒdan（约当）标准形。

79．设，试计算:

80.证明矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是对任一矩阵范数，正项级数收敛。

历届考题一、

一、填空题：

（每空3分,共18分）

1.　已知三阶方阵的初等因子为，则的约当标准形为：

　　　　；

最小多项式为:

　　　　　　。

2．已知，则

3.已知，则

二、解答下列各题：

（每题８分，共4０分）

1.设是四维线性空间的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

，求在基下的矩阵表示。

２.设且谱半径，求级数的和。

3.设，试计算:

其中E是三阶单位矩阵。

４.用圆盘定理估计矩阵的特征值分布范围。

5.　求定解问题

的解。

三、（1２分）设，

　证明：

当时，　并求

四、（１4分）求方程组：

五、证明:

（１6分）

1．证明:

（阵）的充分条件是:

2．设是内积空间的一个变换。

历届考题二、

一、填空题:

（每空3分，共18分）

１.已知6阶矩阵的初等因子组为,则的行列式因子为　　　　　　　　　　,不变因子为　　　　　　,若当标准形为　　　　　

２.已知则=　　　　

　3．判断的敛散性为　　　

（每题8分，共４0分）

1.求的子空间

　２.　设且谱半径，求级数的和。

３．　设，试计算。

４．估计矩阵的特征值以及其实部和虚部的界限。

　５．设，计算

三、（1４分）求微分方程组

四、（１2分）求矩阵的谱分解。

五、证明：

3．设分别是齐次线性方程组与的解空间，试证明。

4．设,是上的矩阵序列，若　，,则