考研数学线性代数必考公式与定理Word下载.docx

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2）上三角或下三角行列式

范德蒙行列式

代数余子式，记作

行列式的展开定理

行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即

定义2.4】：

设，（注意的列数和的行数相等），定义矩阵，其中，称为矩阵与矩阵的的乘积，记作。

方阵的行列式

设为阶方阵，且为一实数，则有

，

，，

其中分别为阶，阶方阵。

此公式又称为拉普拉斯展开定理。

【定义2.7】：

对于一个阶方阵，如果存在一个阶方阵,使得，则称矩阵为可逆矩阵，并称矩阵为矩阵的逆矩阵，记作。

设为阶矩阵的代数余子式（回忆代数余子式的定义），定义

为的伴随矩阵。

1.基本性质

若可逆，则唯一。

若可逆，则均可逆，且。

若为同阶可逆矩阵，则可逆，且。

推广：

，。

若可逆，且则可逆，且。

若可逆，则。

若均可逆，则均可逆且，。

2.常用公式定理

定理1：

设为阶方阵，为它的伴随矩阵则有。

定理2：

设为阶方阵，则可逆的充要条件为。

定理3：

设为阶方阵，那么当或时，有

定义2.10】：

矩阵最高阶非零子式的阶数称之为矩阵的秩，记为。

常用公式定理

1）；

2）；

3）且各行元素成比例；

4）设为阶矩阵，则。

定义2.11】：

我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：

a.交换矩阵的两行（列）；

b.将一个非零数乘到矩阵的某一行（列）；

c.将矩阵的某一行（列）的倍加到另一行上。

【定义2.12】：

对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵

设矩阵为同型矩阵，如果矩阵经过有限次初等行变换之后可以变成，则称矩阵等价，记作。

定理4：

对矩阵左乘一个初等矩阵，等于对作相应的行变换；

对矩阵右乘一个初等矩阵，等于对作相应的列变换。

定理5：

所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵

定理6：

矩阵可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即，其中均为初等矩阵。

定理7：

矩阵与矩阵等价的当且仅当存在可逆矩阵使得。

定义3.3】：

设是个维向量，是个常数，则称为向量组的一个线性组合。

【定义3.4】：

设是个维向量，是一个维向量，如果为向量组的一个线性组合，则称向量可以由向量组线性表出。

定义3.5】：

设有向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ），如果则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）能相互线性表出，则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价，记作（Ⅰ）（Ⅱ）。

3.线性相关

设是个维向量，如果存在不全为零的实数，使得，则称向量组线性相关。

如果向量组不是线性相关的，则称该向量组线性无关。

内积与正交

【定义3.6】：

假设，则定义和的内积。

【定义3.7】：

如果向量和的内积，则称向量和正交

【定义3.8】：

设为由非零向量组成的向量组，如果其中任意两个向量都是正交的，则称该向量组为正交向量组。

与线性表出与线性相关性有关的基本定理

向量组线性相关当且仅当中至少有一个是其余个向量的线性组合。

若向量组线性相关，则向量组也线性相关。

注：

本定理也可以概括为“部分相关整体相关”或等价地“整体无关部分无关”。

若向量组线性无关，则向量组的延伸组也线性无关。

已知向量组线性无关，则向量组线性相关当且仅当可以由向量组线性表出。

阶梯型向量组线性无关。

若向量组可以由向量组线性表出，且线性无关，则有。

个维向量必然线性相关。

施密特正交化

这是把线性无关向量组改造为与之等价的正交向量组的方法。

假设线性无关，则

此时是和等价的正交非零向量组。

向量的极大线性无关组中所含向量个数称为该向量组的秩，记作。

定理8：

任一向量组和自己的极大线性无关组等价。

推论1：

向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论2：

等价的向量组的极大线性无关组等价。

定理9：

向量组任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等。

定理10：

矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。

定理11：

设为个维向量，则线性无关的充要条件是以它们为列向量的矩阵的行列式。

定理12：

如果向量组可以由向量组线性表出，则。

定理13：

向量组能线性表出向量的充要条件是。

线性方程组解的存在性

定理16：

设，其中为的列向量，则线性方程组有解

向量能由向量组线性表出；

；

2．线性方程组解的唯一性

定理17：

当线性方程组有解时，的解不唯一（有无穷多解）

线性方程组的导出组有非零解；

向量组线性相关；

设为阶方阵，则线性方程组有唯一解的充要条件是

定理18：

如果为齐次线性方程组的两个解，则对任意的实数，仍为的解。

【定义3.13】：

假设齐次线性方程组有非零解。

向量组称为齐次线性方程组的基础解系，如果它们满足如下三个条件：

（1）都是的解；

（2）线性无关；

（3）的任意解都可以由线性表出。

如果为的基础解系，则的通解可以表示为。

定理19：

设齐次线性方程组（个方程，个未知量）系数矩阵的秩，，则齐次线性方程组的基础解系存在，并且任一个基础解系中含有个解向量。

定理20：

（1）如果为非齐次线性方程组的两个解，则为的解。

（2）如果为非齐次线性方程组的解，为齐次线性方程组的解，则为非齐次线性方程组的解。

4．非齐次线性方程组解的通解

定理21（非齐次线性方程组解的结构）：

设为齐次线性方程组的基础解系，为非齐次线性方程组任意一个解，则非齐次线性方程组的通解可以表示为（）。

定义4.1】：

设为阶矩阵，是一个数，若存在一个维的非零列向量使得关系式成立。

则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量。

设为阶单位矩阵，则行列式称为矩阵的特征多项式。

设都是矩阵属于特征值的特征向量，则对任意常数，当时，也是矩阵属于特征值的特征向量。

矩阵不同特征值的特征向量线性无关；

并且设矩阵的特征值为重特征值，则至多有个线性无关的特征向量。

设，则对任意的多项式，，当矩阵可逆时，还有。

设为任意多项式，如果矩阵满足，则的任一特征值满足。

设矩阵所有的特征值为（其中可以有一样的，也可以有虚数），则有，。

定义4.2】：

设和为两个阶方阵，如果存在一个阶可逆矩阵使得，则称矩阵和相似，记作。

定义4.3】：

对阶方阵，如果存在一个阶对角矩阵使得与相似，则称矩阵可相似对角化，并把称为矩阵的相似标准型。

相似矩阵的性质

ⅰ）；

ⅱ）且矩阵可逆；

ⅲ），其中为多项式；

ⅳ）；

ⅴ）；

ⅵ），也即相似的矩阵具有相同的特征值；

ⅶ）令，称为矩阵的迹，即矩阵的迹就是的所有主对角元的和，则。

阶矩阵的特征值可相似对角化的充要条件是矩阵存在个线性无关的特征向量。

同时，在等式中，对角矩阵的元素为的个特征值，可逆矩阵的列向量为矩阵的个线性无关的特征向量，并且中特征向量的排列顺序与中特征值的排列顺序一致。

推论：

设矩阵有个互不相同的特征值，则矩阵可相似对角化。

阶矩阵的特征值可相似对角化的充要条件是对任意特征值，线性无关的特征向量个数都等于的重数。

阶矩阵矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，的重数。

设为实对称矩阵（），则关于的特征值与特征向量，我们有如下的结论：

的所有特征值均为实数，且的的所有特征向量均为实数。

属于不同特征值的特征向量必正交。

一定有个线性无关的特征向量，即可以对角化。

且存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值。

我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵。

含有个变量的二次齐次多项式（其中）称为元二次型

义5.3】：

设有元二次型和，如果存在非退化的线性变换，将二次型变成，则称这两个二次型合同，记作。

【定义5.4】：

设有阶实对称矩阵和，如果存在可逆矩阵使得，则称矩阵和合同，记作。

定义5.5】：

如果二次型中，只含有平方项，所有混合项的系数全为零，也即形如，则称该二次型为标准形。

如果二次型合同于标准形，则称为二次型的合同标准形。

ⅲ）。

任何一个实二次型都可以通过合同变换化为标准形。

定义5.6】：

二次型的合同标准形中正项的个数称之为二次型的正惯性指数；

相应地，其中负项的个数称之为二次型的负惯性指数。

定义5.7】：

如果某一标准形中平方项的系数仅为或，也即形如，则称该二次型为规范形。

如果二次型合同于规范形，则称为的合同规范形。

定理2（惯性定理）：

对于一个实二次型，不管通过怎样的坐标变换将它化为标准形，它的正惯性指数和负惯性指数都是不变的。

两个元二次型合同的充要条件是它们的正惯性指数和负惯性指数均相同。

定义5.8】：

对于元实二次型，为实对称矩阵，如果对任意的维非零列向量都有，则称该二次型为正定二次型，相应地，称矩阵为正定矩阵。

设为实对称矩阵，元实二次型正定

对任意非零的维列向量，；

的正惯性指数为；

的特征值全大于零；

的合同规范形为；

存在可逆矩阵使得

的所有顺序主子式全大于零；