固体物理课后作业参考解答2.doc
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《固体物理学》部分习题解答
《固体物理学》课后部分习题参考解答2
4.1布洛赫函数满足
=,
何以见得上式中具有波矢的意义?
解：
人们总可以把布洛赫函数展成付里叶级数
其中k’是电子的波矢，而是倒格矢。
代入布洛赫函数：
左边：
其中利用了（m是整数）。
右边：
由此可得：
=，即k=k’,k具有波矢的意义.
4.2一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。
如果晶格常数为a,电子的波函数为（只考虑第一BZ区）
；
求电子在这些态中的波矢
解：
一维情形布洛赫定理：
，
与布洛赫定理比较，得，故在第一BZ区，有。
与布洛赫定理比较，得，故在第一BZ区，有。
4.3 一维周期势函数的付里叶级数
中,指数函数的形式是由什么条件决定的?
解：
周期势函数V（x）付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性,即
.
显然
.
要满足上式,必为倒格矢
.
可见周期势函数V（x）的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.
4.4.根据状态简并微扰结果，求出与及相应的波函数及。
说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即）说明能隙的来源（假设=）。
解令，，简并微扰波函数为，代入薛定谔方程可得：
取,代入上式，
由于V（x）<0,,从上式得到B=-A,于是
=
取，，
=
可见，及均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度为零．产生驻波是因为电子波矢时，电子波的波长，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波。
由于两驻波的电子分布不同，所以对应的能量不同，这就是能隙的来源。
4.5写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3）中，简约波数的0级波函数。
解：
第一能带：
第二能带：
第三能带：
如果简约波矢为，则有：
第一能带：
第二能带：
第三能带：
4.6．电子在周期场中的势能．
0，
其中a＝4b，是常数．
（1）试画出此势能曲线，求其平均值.
（2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度．
解：
（1）势能曲线如下图所示（请与PPT上的解法比较）．
（2）势能的平均值：
由图可见，是个以为周期的周期函数，所以
题设，故积分上限应为，但由于在区间内，故只需在区间内积分．这时，，于是
。
（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
利用积分公式得
第二个禁带宽度代入上式
再次利用积分公式有
4.7 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？
解答：
当电子的波矢满足关系式
时,与布里渊区边界平行且垂直于的晶面族对波矢为的电子具有强烈的散射作用.此时,电子的波矢很大,波矢的末端落在了布里渊区边界上,垂直于布里渊区边界的分量的模等于.
4.8．设有二维正方晶格，晶体势为
用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角处的能隙．
解：
晶体布里渊顶角（p/a,p/a）处的能隙
近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数
其中，，
顶角处：
，
代入
得：
布里渊顶角处的能隙为Eg=2|V1|=2U
4.9用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数
解面心立方晶格
——s态原子能级相对应的能带函数
s原子态波函数具有球对称性
——任选取一个格点为原点
——最近邻格点有12个
12个最邻近格点的位置
——类似的表示共有12项
——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
对于体心立方格子
――任选取一个格点为原点
——有8个最邻近格点
——最近邻格点的位置
——类似的表示共有8项
归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带
4.10有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。
（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E（k）函数。
（2）求出其能态密度函数的表达式。
（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级及处的能态密度。
解：
（2）
（3）如果每个原子s态只有一个电子，则电子数也即量子态数为N，设为T=0K时的费米波矢，则有
4.11
（1）证明一个二维简单正方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．
（2）对于一个简单立方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？
（3）从
（2）的结果分析二价金属的导电情况。
解
（1）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢
第一布里渊区如图所示。
区边中点波矢
顶点：
所以
（2）对于简单立方晶格，晶格常数为a，倒格子基矢为
第一布里渊区如图所示．
同理有：
（3）如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图所示．根据自由电子理论，自由电子的能量为，费米面应为球面．由
（2）可知，内切于4点的内切球的体积，于是在空间中，内切球内能容纳的电子数为
其中
二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047N个电子，余下的0.953N个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态（包括B点）．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由
（2）可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．
4.12半金属交叠的能带
其中为能带1的带顶，为能带2的带底
由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，
讨论T=0K的费密能级
解半金属的能带1和能带2
能带1的能态密度
——同理能带2的能态密度
如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带
由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足
5.1设一维晶体的电子能带可以写成
其中a为晶格常数，计算
1）能带的宽度
2）电子在波矢k的状态时的速度
3）能带底部和能带顶部电子的有效质量
解1）能带的宽度的计算
能带底部
能带顶部
能带宽度
2）电子在波矢k的状态时的速度
电子的速度
3）能带底部和能带顶部电子的有效质量
电子的有效质量
能带底部有效质量
能带顶部有效质量
5.2设电子等能面为椭球
外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为
1）写出电子的准经典运动方程
2）证明电子绕磁场回转频率为。
其中
解恒定磁场中电子运动的基本方程
电子的速度
电子能量
电子的速度
磁感应强度
电子运动方程
应用关系
——电子运动方程
令
有非零解，系数行列式为零
无意义
旋转频率
其中
6.1在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度
解一摩尔的电子对热容的贡献
与实验结果比较
费米温度
6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量
1）费密能量和费密温度
2）费米球半径
3）费米速度
4）费米球面的横截面积
5）在室温以及低温时电子的平均自由程
解1）费密能量
费密温度
2）费密球半径
3）费密速度
4）费密球面的横截面积――是与z轴间夹角
5）在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
驰豫时间
平均自由程
0K到室温之间的费密半径变化很小
平均自由程将代入
6.3设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0K时
1）每个电子的平均能量
2）自由电子气的压强满足
解自由电子的能态密度
T=0K，费米分布函数
电子总数
电子平均能量
将电子气看作是理想气体，压强
7.1．InSb电子有效质量，介电常数，晶格常数。
试计算；
（1）施主的电离能；
（2）基态的轨道半径；（3）施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？
解：
（1）由于施主电离能是氢原子电离能的
（2），
（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于中施主杂质浓度就一定满足
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