定积分在生活中的应用文档格式.docx

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一、定积分的概述

1、定积分的定义：

设函数在区间上有界.

①在中任意插入假设干个分点,把区间分成个小区间且各个小区间的长度依次为，，…，。

②在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积〔〕，

③作出和。

记作极限

如果不管对怎样分法，也不管在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分〔简称积分〕，记作，即

==,

其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。

2．定积分的性质

设函数和在上都可积，是常数，那么和+都可积，并且

性质1=;

性质2=+

=-.

性质3定积分对于积分区间的可加性

设在区间上可积，且，和都是区间的点，那么不管，和的相对位置如何，都有=+。

性质4如果在区间上1，那么==。

性质5如果在区间上,那么。

性质6如果在上,,那么

性质7〔定积分中值定理〕如果在上连续，那么在上至少存一点使得

3．定理

定理1微积分根本定理

如果函数在区间上连续,那么积分上限函数=在上可导,并且它的导数是==.

定理2原函数存在定理

如果函数在区间上连续,那么函数=就是在上的一个原函数.

定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,

那么=

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

二、定积分的应用

1、定积分在几何中的应用

〔1〕设连续函数和满足条件，．求曲线，及直线所围成的平面图形的面积．〔如图1〕

解法步骤：

第一步：

在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是．

第二步：

在区间上将无限求和，得到.

图2

〔2〕上面所诉方法是以为积分变量进展微元，再求得所围成图形的面积；

我们还可以将作为积分变量进展微元，再求围成的面积。

由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形〔图2〕的面积为：

例1求由曲线，及直线，所围成图形的面积A．

解〔1〕作出图形，如下图．

易知，在上，曲线与的交点为；

〔2〕取为积分变量，积分区间为．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两局部；

〔3〕区间上这一局部的面积和区间上这一局部的面积分别为

，，

所以，所求图形的面积为

=+

．

例2求椭圆的面积.

解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限局部的面积的4倍,即

利用椭圆的参数方程

应用定积分的换元法,,且当时,时,,于是

2．求旋转体体积

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割划分成许多根本的小块，每一块的厚度为，假设每一个根本的小块横切面积为，为上连续函数，那么此小块的体积大约是，将所有的小块加起来，令，我们可以得到其体积：

。

例2求由曲线,直线,,绕轴旋转一周而形成的立体体积.

解先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[,+]的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，

即体积微元为

于是，体积

=

=16

16=12.

3.求曲线的弧长

〔1〕设曲线在上有一阶连续导数〔如下列图〕,利用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，即.得弧长微元为：

再对其积分，

那么曲线的弧长为：

〔2〕参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为：

即

那么曲线的弧长为

例3

（1）求曲线上从0到3一段弧的长度

解由公式=〔〕知,弧长为

=====.

（2）求摆线在上的一段弧的长度〔〕．

解取为积分变量，积分区间为．由摆线的参数方程，得

于是，由公式〔16-13〕，在上的一段弧的长度为

2、定积分在经济中的应用

〔1〕、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际本钱，边际收入，边际利润以及产量的变动区间上的改变量〔增量〕就等于它们各自边际在区间上的定积分：

〔1〕

〔2〕

〔3〕

例1某商品边际收入为〔万元/t〕，边际本钱为5〔万元/t〕，求产量从250t增加到300t时销售收入，总本钱C，利润的改变量〔增量〕。

解首先求边际利润

所以根据式〔1〕、式〔2〕、式〔3〕，依次求出：

=150万元

=250万元

=100万元

〔2〕、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

设某经济函数的变化率为，那么称为该经济函数在时间间隔的平均变化率。

例2某银行的利息连续计算，利息率是时间〔单位：

年〕的函数：

求它在开场2年，即时间间隔[0，2]的平均利息率。

解由于

所以开场2年的平均利息率为

例3某公司运行〔年〕所获利润为〔元〕利润的年变化率为

〔元/年〕求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]年平均变化率

所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

〔元/年〕

即在这5年公司平均每年平均获利元。

〔3〕、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个工程在〔年〕时的收入为〔万元〕，年利率为，即贴现率是，那么应用定积分计算，该工程在时间区间上总贴现值的增量为。

设某工程总投资在竣工时的贴现值为A〔万元〕，竣工后的年收入预计为〔万元〕年利率为，银行利息连续计算。

在进展动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值到达A，即使关系式

成立的时间T〔年〕称为该项工程的投资回收期。

例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。

解这里，，，那么该工程竣工后T年收入的总贴现值为

令=1000，即得该工程回收期为

=6.39〔年〕

3、定积分在物理中的应用

1、求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v（t）（v（t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分，即

例1、一辆汽车的速度一时间曲线如下图．求汽车在这1min行驶的路程．

解：

由速度一时间曲线可知：

因此汽车在这1min行驶的路程是：

答：

汽车在这1min行驶的路程是1350m.

总结：

从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，假设我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，那么不仅能加深对知识的理解，贯穿了新旧知识，还能拓宽知识的应用围、活泼思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.