高考数学理第一轮复习学案数列求和Word文件下载.doc
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A. B.
C. D.
解析：
选D 因为数列{（－1）n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝.
2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为（ ）
A．120 B．70
C．75 D．100
选C ∵Sn＝＝n（n＋2），
∴＝n＋2.故＋＋…＋＝75.
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为（ ）
A．31 B．120
C．130 D．185
选C a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－（2＋…＋2k＋…＋20）＝240－＝240－110＝130.
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．
Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.
答案：
2n＋1＋n2－2
5．数列，，，…，，…的前n项和为________．
因an＝＝
则Sn＝
＝＝.
数列求和的方法
（1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
（2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
分组转化法求和
典题导入
[例1] （2011·
山东高考）等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：
bn＝an＋（－1）nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.
[自主解答]
（1）当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·
3n－1.
（2）因为bn＝an＋（－1）nlnan＝2·
3n－1＋（－1）nln（2·
3n－1）＝2·
3n－1＋（－1）n（ln2－ln3）＋（－1）nnln3，
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2（1＋3＋…＋32n－1）＋[－1＋1－1＋…＋（－1）2n]（ln2－ln3）＋[－1＋2－3＋…＋（－1）2n2n]ln3＝2×
＋nln3＝32n＋nln3－1.
由题悟法
分组转化法求和的常见类型
（1）若an＝bn±
cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.以题试法
1．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：
（1）p，q的值；
（2）数列{xn}前n项和Sn的公式．
解：
（1）由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，
x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，
解得p＝1，q＝1.
（2）由
（1），知xn＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋.
错位相减法求和
[例2] （2012·
江西高考）已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k（其中c，k为常数），且a2＝4，a6＝8a3.
（1）求an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn.
[自主解答]
（1）由Sn＝kcn－k，得an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1（n≥2）．
由a2＝4，a6＝8a3，得kc（c－1）＝4，kc5（c－1）＝8kc2（c－1），解得
所以a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn－1＝2n（n≥2），
于是an＝2n.
（2）Tn＝ai＝·
2i，
即Tn＝2＋2·
22＋3·
23＋4·
24＋…＋n·
2n.
Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－…－2n＋n·
2n＋1
＝－2n＋1＋2＋n·
2n＋1＝（n－1）2n＋1＋2.
用错位相减法求和应注意：
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
以题试法
2．（2012·
济南模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.
（1）求k的值及数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足＝（4＋k）anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.
（1）当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·
3n－1，得等比数列{an}的公比q＝3，首项为2.
∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2·
3n－1.
（2）由＝（4＋k）anbn，可得bn＝，
即bn＝·
.
∵Tn＝，
∴Tn＝，
∴Tn＝.
裂项相消法求和
[例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n（n－1）（n∈N*）．
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[自主解答]
（1）∵Sn＝nan－n（n－1），当n≥2时，
Sn－1＝（n－1）·
an－1－（n－1）（n－2），
∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n（n－1）－（n－1）an－1＋（n－1）·
（n－2），
即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，
故an＝1＋（n－1）·
2＝2n－1，n∈N*.
（2）由
（1）知bn＝＝＝－，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
Sn＝nan－n（n－1）＝n（2n－1）－n（n－1）＝n2.
bn＝＝＝＝－，
Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
利用裂项相消法求和应注意
（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：
若{an}是等差数列，则＝，＝.
3．（2012·
“江南十校”联考）在等比数列{an}中，a1>
0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.
（2）设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋<
k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；
不存在，请说明理由．
（1）设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，
∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.
∴an＝2n＋1.
（2）∵bn＝log42n＋1＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝.
∵＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝
＝<
，
∴存在正整数k的最小值为3.
1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为（ ）
A.或5 B.或5
C. D.
选C 设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a、b∈R），且S25＝100，则a12＋a14等于（ ）
A．16 B．8
C．4 D．不确定
选B 由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a、b∈R），可知数列{an}是等差数列，由S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.
3．数列1，3，5，7，…，（2n－1）＋，…的前n项和Sn的值等于（ ）
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
选A 该数列的通项公式为an＝（2n－1）＋，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋＝n2＋1－.
4．（2012·
“江南十校”联考）若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为（ ）
A．1－ B．1－
C. D.
选C an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（ ）
A. B.
选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴
∴∴an＝a1＋（n－1）d＝n.
∴＝＝－，∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
6．已知函数f（n）＝且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（ ）
A．0 B．100
C．－100 D．10200
选B 由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）＋…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3＋…＋100＋101）＝－1＋101＝100.
7．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.
由等差数列的性质及a2＋a8＝18－a5，
得2a5＝18－a5，则a5＝6，
故S9＝＝9a5＝54.
54
8．对于数列{
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