高考文科数学分类汇编专题九解析几何Word格式.docx
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二、填空题
1.【2018全国一卷15】直线与圆交于两点,则________.
2.【2018北京卷10】已知直线l过点(1,0)且垂直于𝑥
轴,若l被抛物线截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.
3.【2018北京卷12】若双曲线的离心率为,则a=_________.
4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.
5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是.
6.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为.
7.【2018浙江卷17】已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>
1)上两点A,B满足=2,则当m=___________时,点B横坐标的绝对值最大.
8.【2018上海卷2】2.双曲线的渐近线方程为.
9.【2018上海卷12】已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足:
,,,则+的最大值为__________
三、解答题
1.【2018全国一卷20】设抛物线,点,,过点的直线与交于,两点.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)证明:
.
2.【2018全国二卷20】设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
3.【2018全国三卷20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.
(1)证明:
;
(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:
4.【2018北京卷20】已知椭圆的离心率为,焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线,求k.
5.【2018天津卷19】设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求k的值.
6.【2018江苏卷18】如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.
7.【2018浙江卷21】如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<
0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
8.【2018上海卷20】
(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
设常数t>
2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:
x=t,曲线:
,l与x轴交于点A,与交于点B,P、Q分别是曲线与线段AB上的动点.
(1)用t为表示点B到点F的距离;
(2)设t=3,,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,说明理由.
参考答案
1.C2.A3.D4.A5.D6.C7.B8.C
1.2.3.44.5.26.37.5
8.9.
三、解答题
1.解:
(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,–2).
所以直线BM的方程为y=或.
(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l与x轴不垂直时,设l的方程为,M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>
0,x2>
0.
由得ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=,y1y2=–4.
直线BM,BN的斜率之和为
.①
将,及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM+∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
2.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>
0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
3.解:
(1)设,,则,.
两式相减,并由得.
由题设知,,于是.
由题设得,故.
(2)由题意得F(1,0).设,则
由
(1)及题设得,.
又点P在C上,所以,从而,.
于是.
同理.
故.
4.解:
(Ⅰ)由题意得,所以,
又,所以,所以,
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,
由消去可得,
则,即,
设,,则,,
则,
易得当时,,故的最大值为.
(Ⅲ)设,,,,
则①,②,
又,所以可设,直线的方程为,
则,即,学科*网
又,代入①式可得,所以,
所以,同理可得.
故,,
因为三点共线,所以,
将点的坐标代入化简可得,即.
5.解:
(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得,又由,可得.
由,从而.
所以,椭圆的方程为.
(II)设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,,
点的坐标为.由的面积是面积的2倍,可得,
从而,即.
易知直线的方程为,
由方程组消去y,可得.
由方程组消去,可得.
由,可得,两边平方,整理得,解得,或.
当时,,不合题意,舍去;
当时,,,符合题意.
所以,的值为.
6.解:
(1)因为椭圆C的焦点为,
可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,
所以,解得
因此,椭圆C的方程为.
因为圆O的直径为,所以其方程为.
(2)①设直线l与圆O相切于,则,
所以直线l的方程为,即.
由消去y,得.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
因为,所以.
因此,点P的坐标为.
②因为三角形OAB的面积为,
所以,从而.
设,
由(*)得,
因为,
所以,即,
解得舍去),则,因此P的坐标为.
综上,直线l的方程为.
7.解:
(Ⅰ)设,,.
因为,的中点在抛物线上,
所以,为方程即的两个不同的实数根.所以.
因此,垂直于轴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
所以,.
因此,的面积.
因此,面积的取值范围是.
8.解:
(1)由抛物线的性质可知,抛物线的准线为,
抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离,
由题意知,点的横坐标为,则。
(2)当时,。
由曲线:
知:
点的纵坐标为,则。
由于在线段上,则点的纵坐标取值在之间。
由题意,,则的纵坐标为,
故,的中点坐标为。
由于,由题意可知的斜率存在,则可设直线的方程为:
,
所以将点的坐标代入方程得,
解得,则直线的方程为。
代入抛物线方程得。
由于、均在直线上,则的边边长为,
边上的高等于,
则。
(3)存在以、为邻边的矩形,使得点在上。
当时,,点的纵坐标为,则。
设,。
①若,则点,而点,则轴。
若以、为邻边的四边形为矩形,则,
则轴,故点。
此时点,由于,
则点不在上,此情况不成立。
②当时,直线的斜率可以表示为
由于,则直线的斜率可以表示为。
所以直线的方程为,
当时,,
所以。
而在以、为邻边的四边形中,、为不相邻的两个顶点,
而,,
故点。
当点点在上时,有,
移项后去分母整理得,解得。
而,则,故。
综上所述,存在以、为邻边的矩形,使得点在上,此时点。