高中数列知识大总结Word文件下载.docx

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1．给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一

2．由求时，要分=1和两种情况

3．数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。

4．给出与的递推关系，要求，常用思路是：

一是利用（）转化为的递推关系，再求其通项公式；

二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求。

课堂演练

1．若数列的前项的，那么这个数列的通项公式为（）

2．已知数列满足，　（），则（　）

3.已知数列满足

，

证明：

１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（）

２.已知数列中，

则的值为（）

3设，（），则的大小关系是（）

1．若数列满足：

，则的值为（　　）

2、填空题

1．已知数列中，，,

2．已知中，，前项和与的关系是，求

6.2等差数列

1．等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用表示。

2．递推关系与通项公式

由此联想到点所在直线的斜率。

是数列成等差数列的充要条件。

３．等差中项：

若成等差数列，则称的等差中项，且；

成等差数列是的充要条件。

４．前项和公式

；

变式：

5．等差数列的基本性质

反之，不成立。

仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

定义法：

是等差数列

中项法：

通项公式法：

前项和公式法：

课前热身：

1．等差数列中，

（）

2．等差数列中，

3．等差数列的前项和为，当变化时，若是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（）

4．计算机执行以下程序：

初始值

，则进行，否则从继续进行

打印

停止

那么，语句打印出的数值为89

5．设，分别为等差数列与的前项和

解：

一、等差数列的判定与基本运算

例1：

已知数列前项和

求证：

为等差数列；

记数列的前项和为，求的表达式。

根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。

二、公式的应用

例2：

设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为

若，求数列的通项公式

若，求所有可能的数列的通项公式

准确灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式，提高运算能力。

1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，

２．在五个量中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。

33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设外，还可设；

四个数成等差数列时，可设为

4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。

1．设是等差数列的前项和，若（）

２．在等差数列中，　则等于（）3．等差数列中，，则前项的和最大。

4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

设捕捞年后的总盈利为万元，则

６．设等差数列的前项和为，已知

求出公差的范围，

指出中哪一个值最大，并说明理由。

课外练习

一、选择题

1．已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于（）

2．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且

，则使为整数的所有的值的个数有（）

3，设等差数列的前项和为，若

等于（B）

A．63B．45C．36D．27

3．已知等差数列中，等于（）

二、填空题

4．设为等差数列的前项和，=

5．已知等差数列的前项和为，若

三、解答题

6．等差数列的前项和记为，已知

求通项；

若=242，求

7．甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，甲、乙开始运动后几分钟相遇？

如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

10．已知数列中，前和

数列是等差数列

求数列的通项公式

6.3等比数列

1．定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。

2．递推关系与通项公式

3．等比中项：

若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。

4．前项和公式

5．等比数列的基本性质，

反之不真！

为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

仍成等比数列。

6．等比数列与等比数列的转化

是等差数列是等比数列；

是正项等比数列是等差数列；

既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。

7．等比数列的判定法

为等比数列；

前项和法：

为等比数列。

课前热身

1．如果-1，，-9成等比数列，那么（）

2．在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（）

3．

4．已知数列是等比数列，且

5．在数列中，若，则通项=

一、等比数列的基本运算与判定

：

运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量，的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前项和公式时，应充分讨论公比是否等于1；

应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用恒成立，也可用恒成立，若判定一个数不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法。

二、性质运用

在等比数列中，

求，

若

总结提高：

1.方程思想，即等比数列中5个量，，，，，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解。

2.“错位相减法”求和是解决由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列求和的常用方法。

3.对于已知数列递推公式与的混合关系式，利用公式，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解。

4.分类讨论思想：

当>

0，>

1或<

0，0<

<

1时，等比数列为递增数列；

1时，为递减数列；

<

0时，为摆动数列；

=1时，为常数列。

1．在等比数列中，=2，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）

2．在各项均为正数的等比数列中，若

等于（）

3．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为。

4．设为公比为>

1的等比数列，若的两根，则=

5．数列的前项和=2－1，数列满足：

　（）。

为等比数列；

求数列的前项和。

1．在正数等比数列中，是方程的两个根，则的值为（）

2．已知等比数列的公比为（为实数），前项和为，且成等差数列，则等于（）

3．设等差数列的公差不为零，=9，若的等比中项，则等于（）

4．已知等比数列的前项和（）

5．在等比数列中，

8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。

6.4数列求和

1．求数列前项和的基本方法

直接用等差、等比数列的求和公式求和；

公比含字母时一定要讨论。

为无穷递缩等比数列时，

错位相减法求和：

如为等差数列，为等比数列，求的和。

分组求和：

把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

合并求和：

如求的和。

裂项相消法求和：

把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：

公式法求和：

倒序相加法求和

其它求和法：

如归纳猜想法、奇偶法等。

2．直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。

求一般数列的前项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前项和的求法。

数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

1．设数列

2．已知数列的前项和

３．等于（）

4．数列是等差数列，　　　　　　　

一、错位相减法求和

求和：

若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；

当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；

当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。

二、裂项相消法求和

数列满足=8，（）

求数列的通项公式；

设

（）求Tn

故的最大整数值为5。

若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。

使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。

数学门诊

已知为数列的前项和，且

数列为等比数列；

1．数列的前项和为（）

2．2×

3＋3×

4＋4×

5＋…＋（＋1）（＋2）等于（）

1．数列的前项和为，若等于（）

２．化简：

的结果是（）

2．已知等差数列的前项和是，

已知奇函数\

3．设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，

6．数列满足

，则数列的前项和为

8．设数列满足

（）

设，求数列的前项和

9．已知数列满足

求数列的通项公式；

6．5数列的综合应用

一、数列综合问题中应用的数学思想

1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；

2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；

3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；

4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。

二、解决问题的主要思路有

1．把综合问题分解成几个简单的问题

2．把综合问题转化为熟悉的数学问题

3．通过观察，探索问题的一般