完美版圆锥曲线知识点总结.docx

完美版圆锥曲线知识点总结.docx

《完美版圆锥曲线知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完美版圆锥曲线知识点总结.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完美版圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线的方程及性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内及两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：

（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：

①以上方程中的大小，其中；

②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：

由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；

②对称性：

在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：

确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线及轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆及轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆及轴的两个交点。

所以，椭圆及坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：

椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；

④离心率：

椭圆的焦距及长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上及两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：

①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

（2）双曲线的性质

①范围：

从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧。

即，即双曲线在两条直线的外侧。

②对称性：

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是及椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线的各支向外延伸时，及这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质及定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：

，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意及的区别：

三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内及一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

注意：

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性

轴

轴

轴

轴

顶点

离心率

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：

是焦点到准线的距离。

4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点及一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点及曲线的关系：

若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点P0（x0,y0）在曲线C上f（x0,y0）=0；点P0（x0,y0）不在曲线C上f（x0,y0）≠0。

两条曲线的交点：

若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0,则点P0（x0,y0）是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：

1、定义：

点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：

（1）标准方程：

圆心在c（a,b），半径为r的圆方程是（x-a）2+（y-b）2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

（2）一般方程：

①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。

配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+）2+（y+）2=

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-,-）;

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点及圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线及圆相交有两个公共点；直线及圆相切有一个公共点；直线及圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离及半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离及到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹

2．及定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹

2．及定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

及定点和直线的距离相等的点的轨迹.

轨迹条件

点集：

（{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}.

点集：

{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.

=±2a,｜F2F2｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.

图形

方

程

标准方程

（>0）

（a>0,b>0）

参数方程

（t为参数）

范围

─a≤x≤a，─b≤y≤b

|x|≥a，y∈R

x≥0

中心

原点O（0，0）

原点O（0，0）

顶点

（a,0）,（─a,0）,（0,b）,（0,─b）

（a,0）,（─a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F1（c,0）,F2（─c,0）

F1（c,0）,F2（─c,0）

准线

x=±

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

准线及焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=）

2c（c=）

离心率

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：

双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.及互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：

的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线=2px（p>0）的焦点坐标是（,0），准线方程x=-，开口向右；抛物线=-2px（p>0）的焦点坐标是（-,0），准线方程x=，开口向左；抛物线=2py（p>0）的焦点坐标是（0,），准线方程y=-　，开口向上；

抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.

（2）抛物线=2px（p>0）上的点M（x0,y0）及焦点F的距离；抛物线=-2px（p>0）上的点M（x0,y0）及焦点F的距离

（3）设抛物线的标准方程为=2px（p>0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则弦长=+p或（α为直线AB的倾斜角），，（叫做焦半径）.

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标及曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：

设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则或

叫做平移（或移轴）公式.

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表：

方程

焦点

焦线

对称轴

椭圆

+=1

（±c+h,k）

x=±+h

x=h

y=k

+=1

（h,±c+k）

y=±+k

x=h

y=k

双曲线

-=1

（±c+h,k）

x=±+k

x=h

y=k

-=1

（h,±c+h）

y=±+k

x=h

y=k

抛物线

（y-k）2=2p（x-h）

（+h,k）

x=-+h

y=k

（y-k）2=-2p（x-h）

（-+h,k）

x=+h

y=k

（x-h）2=2p（y-k）

（h,+k）

y=-+k

x=h

（x-h）2=-2p（y-k）

（h,-+k）

y=+k

x=h

六、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必及对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆