第十五届中环杯初赛五年级试题解析Word文档格式.docx
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2014=2×
1007=19×
106=38×
53
4、一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米,其体积的数值与表面积的数值相等,则它的高为______厘米(答案写为假分数)。
【考点】立体几何,方程
【答案】
设高为h,则。
5、一次中环杯比赛,满分为100分,参赛学生中,最高分为83分,最低分为30分(所有的分数都是整数),一共有8000个学生参加,那么至少有_____个学生的分数相同。
【考点】抽屉原理
【答案】149
6、对35个蛋黄月饼进行打包,一共有两种打包规格:
大包袋里每包有9个月饼,小包装里每包有4个月饼。
要求不能剩下月饼,那么一共打了_____个包。
【考点】不定方程
【答案】5
设大包有x袋,小包有y袋,所以9x+4y=35,x=3,y=2,所以2+3=5个包。
7、小明和小红在600米的环形跑道上跑步,两人从同一起点同时出发,朝相反方向跑,第一次和第二次相遇时间间隔50秒,已知小红的速度比小明慢2米/秒,则小明的速度为______米/秒。
【考点】环形跑道,方程
【答案】7
设小红的速度为米/秒,小明的速度为米/秒,则,则小明的速度为5+2=7米/秒。
8、我们知道,2013、2014、2015的因数个数相同,那么具有这样性质(因数的个数相同)的三个连续自然数n、n1、n+2中,n的最小值为_____。
【考点】分解质因数,约数个数
【答案】33
没有连续的三个质数,不能有完全平方数,
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37……经试验,33、34、35各有4个约数。
9、图中的正三角形与正六边形的周长相等,已知正三角形的面积是10cm2,则正六边形的面积为_____cm2。
【考点】图形切拼
【答案】15
设六边形每个边长为,则正三角形每个边长为,分割后每个小三角形的面积相同,。
10、甲、乙、丙在猜一个两位数,
甲说:
它的因数个数为偶数,而且它比50大;
乙说:
它是奇数,而且它比60大;
丙说:
它是偶数,而且它比70大。
如果他们三个人每个人都只说对了一半,那么这个数是____________。
【考点】逻辑推理
【答案】64
由乙丙所说一个为奇数一个为偶数,必为一真一假,若这个数大于70则必然大于60,所以后半句只能是这个数大于60小于70,所以这个数是偶数,由于这个数大于60,则甲所说的大于50是正确,所以这个数的因数个数为奇数个,必为在50~70之间的完全平方数,只有64。
11.如图,正方形ABCD和正方形EFGH,他们的四对边互相平行。
联结CG并延长交BD于点I。
已知BD=10,三角形bfc面积=3,三角形chd=5,则BI的长度为?
【考点】几何
过I,G,F,H分别作垂线,则FJ=GN,HK=GO。
设边长为,则。
由三角形面积公式得
IL和IM分别是GN和GO的等比例扩大,设都为扩大到k倍,
,
所以,IL等于FJ扩大到k倍,为,
12.将572个桃子分给若干个孩子,这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数,则获得桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子?
【考点】数论,分解质因数,最值
【答案】75
设第一人拿到x+1个桃子,最后一人拿到x+k,则有k个人。
枚举
k为2,4不合题意
k=8,2x+9=143,x=67,x+k=75。
13、定义,比如,若(其中n为正整数,且)是完全平方数,比如时,,就是一个完全平方数,则所有满足条件的n的和为_______。
【考点】定义新运算,完全平方数
【答案】273
,让为完全平方数即可,
14.小明讲若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内,每个小正方形内可以不放棋子,也可以放等于或多余1枚棋子,现在计算每一行,每一列的棋子总数,得到6个数,这6个数互不相同,那么最少需要放多少枚棋子
【考点】最值,枚举
【答案】8
尝试最小的和0+1+2+3+4+5=15,由于三行之和=三列之和=总和,15不是偶数,所以16÷
2=8,经试验,如图所示
15.将A、B、C、D、E这五位老师与25个相同的座位拍成一排,之后25个学生会坐在座位上与老师拍照。
要求:
A、B、C、D、E必须按字母顺序从左到右出现在这排中,而且每个相邻座位老师之间至少有两个座位。
则一共有_____种不同的安排方法(注意:
安排还是指老师与未作之间的安排,不考虑后续的学生)。
【考点】排列组合
【答案】26334
25+5=30,这道题目相当于从1~30这30个数中选5个数,每两个数之间的差大于等于3,5个数4个间隔,所以30-2×
4=22,即。
16.如图,在一个梯形ABCD中,AD平行BC,BC:
AD=5:
7.点F在线段AD上,点E在线段CD上,满足AF:
FD=4:
3,CE:
ED=2:
3.如果四边形ABEF的面积为123,则ABCD的面积为?
【答案】180
设AD=7x,BC=5x,DC=5y。
则DF=3x,DE=3y,EC=2y。
S梯形=(AD+BC)×
CD÷
2=30xy,
所以xy=6,故所求面积为180。
17.如图算式中,最后的乘积为_________。
【考点】【答案】100855
18.一个五位数是2014的倍数,并且恰好有16个因数,则的最小值是?
【答案】24168
19.10个学生排成一行,老师想要为每个学生配一顶帽子,帽子有两种颜色:
红色和白色,每种颜色的帽子数量都超过10顶。
任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2。
那么老师有_____种分配帽子的方法。
【考点】题意理解、有序枚举
【答案】94
本题难度很大,主要在“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”这句话。
以下尝试几种方法来解答。
(统一用√表示带红色帽子,×
表示白色帽子)
法一:
有序枚举,结合图形标数法
向右一格表示戴红帽子,向上一格代表戴白帽子,一共走10格完成注意:
①同方向最多连续两步;
②取的点之间,任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最多为2,如图a点和b点不能同时有。
(行列1×
4,2×
5,3×
6都不行,易多数)这样数下来,就是下面47种:
这是√开头的,共47中,×
开头也有47种,共47×
2=94种。
法二:
分类讨论+枚举
根据“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”,那么全部10名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2,因此有6红4白,5红5白,4红6白三种。
其中6红4白和4红6白对称,种数一样。
(一)6红4白
(1)6红分三堆,红红,红红,红红
4-2=2,红红与红红之间必为两白,1种:
√√,×
×
,√√,×
,√√;
小计,6红分三堆共1种;
(2)6红分四堆,红红,红红,红,红
①红红,红红,红,红红红与红红之间必为两白,1种:
,√,×
,√;
②红,红,红红,红红同①,对称性,1种;
③红红,红,红红,红
5-2=3,这两个间隔里必然一个是1白,一个是两白,2种:
④红,红红,红,红红同③,2种
⑤红红,红,红,红红
6-2=4,两端必然不可能放白,3种:
⑥红,红红,红红,红红红与红红之间必为两白,1种:
√,×
小计,6红分四堆共1+1+2+2+3+1=10种;
(3)6红分五堆,红红,红,红,红,红
①红红在第一或第五位置,四个间隔各插1白,共2种:
②红红在第二、三、四位置,四个间隔各插1白,共3种:
小计,6红分五堆共2+3=5种;
所以,6红4白共1+10+5=16种;
(二)4红6白
同6红4白,共16种;
(三)5红5白
(1)5红分三堆,红红,红红,红
①红红,红红,红
第一个间隔红红与红红之间必为两白,第二个间隔可能1白,可能两白,5种:
;
③红红,红,红红
5-2=3,1+2=3,划线处两间隔必为一处1白,一处两白,6种:
小计,5红分三堆共5+5+6=16种;
(2)5红分四堆,红红,红,红,红
①红红,红,红,红
1+2=3,2+2=4,划线处三个间隔为3到4白,9种:
②红,红,红,红红
同①,对称性,9种;
③红,红红,红,红
1+2=3,红两边间隔处最多一处为两白,根据三处间隔两白数量可为2,1,0枚举,
11种:
,√,;