高二数学竞赛试卷Word文件下载.doc
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6.设,则=.
7.以、为焦点的椭圆=1()上一动点P,当最大时的正切值为2,则此椭圆离心率e的大小为。
(第7题)
C
A
B
D
D1
C1
B1
A1
P
Q
R
8.已知ABCD-A1B1C1D1是边长为3的正方体,
点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的
点,AP=AQ=AR=1,则四面体C1PQR的
体积为.
9.已知等差数列的前项和为,且,,
则过点和N*)的直线的斜率是__________。
10.已知定点,点的坐标满足当(为坐标原点)的最小值是时,实数的值是.
11.在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为。
若到点的交通距离相等,其中实数满足,则所有满足条件的点的轨迹的长之和为。
班级座号姓名
三
题号一二总成绩
13141516
得分
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.
6. 7。
8.
9.10。
11
三、解答题:
本大题共4小题,满分84分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤
12.(本小题满分20分)已知函数f(x)=2x+alnx
(1)若a<0,证明:
对于任意两个正数x1,x2,总有≥f()成立;
(2)若对任意x∈[1,e],不等式f(x)≤(a+3)x-x2恒成立,求a的取值范围。
13.(本小题满分21分)如图所示,等腰的底边,高,点是线段上异于、的
动点.点在边上,且.现沿将
折起到的位置,使。
记,
表示四棱锥的体积
(1)求的表达式;
(2)当为何值时,取得最大值?
(3)当取得最大值时,求异面直线与所成角的余弦值.
14.(本小题满分21分)已知抛物线的对称轴为,且与坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为.
(1)求实数的取值范围;
(2)设抛物线与x轴的左交点为A,直线是抛物线在点A处的切线,试判断直线是否也是圆的切线?
并说明理由.
15.(本小题满分22分)已知数列满足递推关系式:
,.
(1)若,证明:
(ⅰ)当时,有;
(ⅱ)当时,有.
(2)若,证明:
当时,有.
高二数学竞赛参考答案
DAADD
4.函数的两个零点,即方程的两根,也就是函数与的图象交点的横坐标,如图易得交点的横坐标分别
为显然,则
,故选D.
5.答:
D
解:
铺第一列(两块地砖)有种方法;
其次铺第二列.设第一列的两格铺了、
两色(如图),那么,第二列的上格不能铺色.若铺色,则有种铺法;
若不铺色,则有种方法.于是第二列上共有种铺法.同理,若前一列铺好,则其后一列都有种铺法.因此,共有种铺法.故选D.
6.87.8.9.410.211.
6.令得,令得
∴=8
7.解析:
当最大时P为椭圆与y轴的交点,的正切值为2,即,∵,
则椭圆离心率e为。
8.答案:
简解:
因为C1C⊥面ABCD,所以C1C⊥BD.
又因为AC⊥BD,
所以BD⊥面ACC1,所以AC1⊥BD.
又PQ∥BD,所以AC1⊥PQ.
同理AC1⊥QR.所以AC1⊥面PQR.
因为AP=AQ=AR=1,所以PQ=QR=RP=.
因为AC1=3,且VA-PQR=·
·
12·
1=,所以
VC-PQR=·
()2·
3-VA-PQR=.
9.解析:
由消去得。
直线的斜率为,∴填4.
10.表示向量在上的射影长,画出可行域,知当P点落在直线上时,取得最小值为,故.
11.答。
由条件得。
当时,无解;
当时,,线段长为。
当时,线段长为。
当时,无解。
综上所述,点的轨迹构成的线段的长之和为。
12解:
(I).
………(5分)
因为所以,,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又,故,所以,…(10分)
(Ⅱ)因为对恒成立,
故,,
因为,所以,因而,………………(15分)
设
因为,
当时,,,所以,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又因为在和处连续,所以在时为增函数,
所以…………………………(20分)
13.
(1)又,平面且,,四棱锥的底面积为
,………8分
(2),时,时,在上增,在上减,故在时,取最大值为……14分
(3)过作交于,则是直线与所成角且是等腰三角形,由
(2)知
在,所以异面直线与所成角的余弦值为………21分
14.解:
(1)由抛物线的对称轴为知----------------------------2分
∵抛物线与坐标轴有三个交点∴,否则抛物线与坐标轴只有两个交点,与题设不符
由知,抛物线与y轴有一个非原点的交点,故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程有两个不同的实根
∴即
∴的取值范围是或--------------------------------6分
(2)设抛物线与y轴的交点为C,与x轴的另一交点为B,
令x=0得,∴------------4分
令得解得
∴,------------------------------10分
解法1:
∵ ∴
∴直线的斜率----------------------12分
∵圆过A、B、C三点,∴圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点
∵AB的垂直平分线即抛物线的对称轴
∵线段AC的中点为,直线AC的斜率
∴线段AC的垂直平分线方程为---()-----16分
将代入()式解得,即-------------------------18分
∴,若直线也是圆的切线,则
即解得
这与或矛盾----------------------------------------20分
∴直线不可能是圆的切线.-----------------------------------21分
解法2:
∴直线的斜率
设圆的方程为
∵圆过,,
∴ 解得
∴圆心
这与或矛盾分
∴直线不可能是圆的切线.
15.证明:
因为,故,即数列为递增数列.
(1)(ⅰ)由及可求得,于是当时,,于是,即当时,.
…………………………6分
(ⅱ)由于时,,所以时,.
由可得.
先用数学归纳法证明下面的不等式成立:
().
Ⅰ)当时,,结论成立.
Ⅱ)假设结论对成立,即,则结合(ⅰ)的结论可得
,即当时结论也成立.
综合Ⅰ),Ⅱ)可知,不等式对一切都成立.
因此,当时,,即.
又,,所以当时,有.
………………………10分
(2)由于,而数列为递增数列,故当时,有.
由可得,而,于是
.…………12分
下面先证明:
当时,有(*)
Ⅰ)根据及计算易得,
,而,
故,即当时,结论成立.
Ⅱ)假设结论对成立,即.
因为,而函数在时为增函数,所以
,
即当时结论也成立.
于是当时,,故,所以.
…………22分
15