数值计算课后2Word文件下载.docx
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7
3.633
8
3.629
9
3.631
10
3.632
11
x*QX1=3.632。
指出：
（1）注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的
（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表:
3.5000
3.7500
3.6250
3.6875
3.6563
3.6407
3.6329
3.6290
3.6310
3.6320
3.6315
（3）用秦九韶算法计算f（Xn）比较简单。
1*•求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间
令y
3X
2x2
4x
7，
则y3x2
（3x
2）（x
2）
当y3x2
2）0时，有x,,X22。
函数单调区间列表分析如下:
X
（-s，_）
（-,2）
（2,+s）
/
y
——
一＞149
27
—15
f一
因为y
（2）1490,y
（2）150,所以方程在区间（-,2）上无根；
3273
21492
因为y（）0，而函数在（，）上单调增，函数值不可能变号，所以
3273
方程在该区间上无根；
因为y
（2）150，函数在（2,+s）上单调增，所以方程在该区间上最多有
一个根，
而⑶=-10<
0,y⑷=9>
0，所以方程在区间（3,4）有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是（3.4）。
2.证明1xsinx0在［0,1］内有一个根，使用二分法求误差不大于-10
的根，需要迭代多少次？
证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间
有至少一个零点。
则f（0）f
（1）
指出:
要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。
3•试用迭代公式Xk1
—,x01，求方程x32x210x200的
xk2xk10
根，要求精确到105。
精确到105即误差不超过1105
令f（x）x32x210x20
列表进行迭代如下:
Xk
f（Xk）
-7
1.53846
3.75964
1.29502
-1.52380
1.40182
0.70311
1.35421
-0.30667
1.37530
0.13721
1.36593
-0.06067
1.37009
0.02705
1.36824
-0.01198
1.36906
0.00531
1.36870
-0.00228
1.36886
0.00110
12
1.36879
-0.00038
13
1.36882
0.00025
14
1.36881
3992105
15
399210
精确到105可以从两个方面判定。
第一，计算过程中取小数到105位，最后两个计算结果相同，终止计算。
第二，计算过程中取小数到106，当Xk1Xk-105终止计算。
本题采用第一种方法。
附近的根，要求精确到102。
0.5处，因为
2.2sin（0.5-）
g（0.5）105」0.96151
e
所以迭代法g（Xk1）Xk警互1在X00.5的邻域内收敛
eXk
列表迭代如下：
0.5
0.71
0.69
此时2cos0.69e0'
690.00614。
5.为求方程x3x2
10在Xo1.5附近的一个根，设将方程改为下列等价
形式，并建立相应的迭代公式:
二,迭代公式xk1
（1）x
（2）x3
⑶X2
X2,迭代公式Xk1
—,迭代公式Xk1
X1
~2；
（1X：
）3;
（Xk1）?
试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有似值。
4位有效数字的近
（1）因为X1
12
g（x）（-2）（X2）
x
-2，所以迭代函数为g（x）
2x3，|g（1.5）
21.53
话
，则
1满足局部
3.375
收敛性条件，所以迭代公式Xk114具有局部收敛性。
（2）因为
Xk1
g（x）1（1
（1
x2）312x
X2）3,所以迭代函数为g（x）（1
232x
x）32,
3（1X2亍
X2）3,则
21.5
3（11.52）3
）3具有收敛性。
g（1.5）
0456
1满足局部收敛性条件，所以迭代公式
（3）因为x
（x
r
1）2
，所以迭代函数为g（x）
（X1）2
g（x）2（x
2（x
g（1.5）尹51）
20.5"
1.4141不满足收敛性条件，所以迭代公式
不具有收敛性。
（Xk1）2
用迭代公式Xk11A列表计算如下:
1.5
1.444
1.480
1.457
1.471
1.462
1.468
1.464
1.467
1.465
1.466
所以，方程的近似根为x*1.465。
6.设（x）xC（x23），应如何取C才能使迭代公式Xk1（xQ具有局部
收敛性？
设C为常数，因为（x）xC（x23），所以（x）12Cx，要使迭代
公式具有局部收敛性，需|（Xo）12Cxo1，此时即有112Cxo1，也即
1Cxo0。
即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。
本题的一般形式为：
（Xk）具有局部收敛
设（x）xCf（x），应如何取C才能使迭代公式Xk1
性?
代格式要求解的方程是x（x）XXCf（x）f（x）0。
也就是说，这是如
何选择C，构造一个求解方程f（x）=0的收敛的迭代格式的问题
因为（x）xCf（x），所以（x）1Cf（x），
要使迭代格式收敛，需I（x）|1Cf（x）|1
解之得2Cf（x）0，
即C与f（x）异号，且Cf（x）2。
下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：
因为（x）xC（x23），所以当xxC（x23）时，有C（x23）0,则
.3。
x.3，即函数（x）xC（x23）的不动点为x*
而（x）12Cx，
根据局部收敛性定理,
o时，迭代格式收敛到3；
取X0=2为迭代的初始近似值。
迭代的结果列表如下:
k
1.8889
1.8795
1.8794
因为x3x>
o.。
。
1-103,符合计算的精度要求,所以
xx31.8794。
应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下
3.084
3.0864
所以」3.0864。
0.324
如果将方程-c0改写为等价的cx10，则有f（x）cx1，相应的迭
代公式为
cxk11
Xk1xk
cc
无法展开迭代。
9•设a为已知数，试用牛顿法导出求na的迭代公式，并求极限
设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程f（x）xna0的解为
Xk
nn
nXkXka
n1
nXk
（n
Xka
1）x：
a
n1nXk
[（nn
此即求na的迭代公式。
由此，则
1）Xk
ai]
na
lim——
-[（n
..Xk1
lim—:
2
k（naXk）
11n1
-[（n1）a（1n）x^n1]limn
（naXk）2
na」[（n1）XkaXkn]limk
（:
aXk）2
（1）（naXk）
2[（nn
1）a（1n）Xkn]
2（幅Xk）
2[（a（n
：
1n）（n用1]
2
（1）
a（1n）
ia（1n）a（1n）
1n
2x；
2kimx；
n2（na）n1
2na
kim
lim
本题中，表面上是k
是极限过程中实际的变量。
本质上。
本题实际上是求极限
n—na-[（n1）Xk
yaXk1n
lim—尸2lim
k（naXk）2k
na-[（n1）xax1n]
lim_2
xna（nax）2
由于讨论的是0型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两
次应用罗必塔法则。
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