数值计算课后2Word文件下载.docx
《数值计算课后2Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值计算课后2Word文件下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
7
3.633
8
3.629
9
3.631
10
3.632
11
x*QX1=3.632。
指出:
(1)注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的
(2)在计算过程中按规定精度保留小数,最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数,结果取3位,则如下表:
3.5000
3.7500
3.6250
3.6875
3.6563
3.6407
3.6329
3.6290
3.6310
3.6320
3.6315
(3)用秦九韶算法计算f(Xn)比较简单。
1*•求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间
令y
3X
2x2
4x
7,
则y3x2
(3x
2)(x
2)
当y3x2
2)0时,有x,,X22。
函数单调区间列表分析如下:
X
(-s,_)
(-,2)
(2,+s)
/
y
——
一>149
27
—15
f一
因为y
(2)1490,y
(2)150,所以方程在区间(-,2)上无根;
3273
21492
因为y()0,而函数在(,)上单调增,函数值不可能变号,所以
3273
方程在该区间上无根;
因为y
(2)150,函数在(2,+s)上单调增,所以方程在该区间上最多有
一个根,
而⑶=-10<
0,y⑷=9>
0,所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以,该方程有一个根,隔根区间是(3.4)。
2.证明1xsinx0在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于-10
的根,需要迭代多少次?
证明方程在指定区间内有一个根,就是证明相应的函数在指定区间
有至少一个零点。
则f(0)f
(1)
指出:
要证明的是有一个解而不是唯一解,因此不必讨论单调性。
3•试用迭代公式Xk1
—,x01,求方程x32x210x200的
xk2xk10
根,要求精确到105。
精确到105即误差不超过1105
令f(x)x32x210x20
列表进行迭代如下:
Xk
f(Xk)
-7
1.53846
3.75964
1.29502
-1.52380
1.40182
0.70311
1.35421
-0.30667
1.37530
0.13721
1.36593
-0.06067
1.37009
0.02705
1.36824
-0.01198
1.36906
0.00531
1.36870
-0.00228
1.36886
0.00110
12
1.36879
-0.00038
13
1.36882
0.00025
14
1.36881
3992105
15
399210
精确到105可以从两个方面判定。
第一,计算过程中取小数到105位,最后两个计算结果相同,终止计算。
第二,计算过程中取小数到106,当Xk1Xk-105终止计算。
本题采用第一种方法。
附近的根,要求精确到102。
0.5处,因为
2.2sin(0.5-)
g(0.5)105」0.96151
e
所以迭代法g(Xk1)Xk警互1在X00.5的邻域内收敛
eXk
列表迭代如下:
0.5
0.71
0.69
此时2cos0.69e0'
690.00614。
5.为求方程x3x2
10在Xo1.5附近的一个根,设将方程改为下列等价
形式,并建立相应的迭代公式:
二,迭代公式xk1
(1)x
(2)x3
⑶X2
X2,迭代公式Xk1
—,迭代公式Xk1
X1
~2;
(1X:
)3;
(Xk1)?
试分析每种迭代公式的收敛性,并取一种公式求出具有似值。
4位有效数字的近
(1)因为X1
12
g(x)(-2)(X2)
x
-2,所以迭代函数为g(x)
2x3,|g(1.5)
21.53
话
,则
1满足局部
3.375
收敛性条件,所以迭代公式Xk114具有局部收敛性。
(2)因为
Xk1
g(x)1(1
(1
x2)312x
X2)3,所以迭代函数为g(x)(1
232x
x)32,
3(1X2亍
X2)3,则
21.5
3(11.52)3
)3具有收敛性。
g(1.5)
0456
1满足局部收敛性条件,所以迭代公式
(3)因为x
(x
r
1)2
,所以迭代函数为g(x)
(X1)2
g(x)2(x
2(x
g(1.5)尹51)
20.5"
1.4141不满足收敛性条件,所以迭代公式
不具有收敛性。
(Xk1)2
用迭代公式Xk11A列表计算如下:
1.5
1.444
1.480
1.457
1.471
1.462
1.468
1.464
1.467
1.465
1.466
所以,方程的近似根为x*1.465。
6.设(x)xC(x23),应如何取C才能使迭代公式Xk1(xQ具有局部
收敛性?
设C为常数,因为(x)xC(x23),所以(x)12Cx,要使迭代
公式具有局部收敛性,需|(Xo)12Cxo1,此时即有112Cxo1,也即
1Cxo0。
即只要C取满足如上条件的常数,就可以使得迭代公式具有局部收敛性。
本题的一般形式为:
(Xk)具有局部收敛
设(x)xCf(x),应如何取C才能使迭代公式Xk1
性?
代格式要求解的方程是x(x)XXCf(x)f(x)0。
也就是说,这是如
何选择C,构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题
因为(x)xCf(x),所以(x)1Cf(x),
要使迭代格式收敛,需I(x)|1Cf(x)|1
解之得2Cf(x)0,
即C与f(x)异号,且Cf(x)2。
下面的讨论利用了本题的特殊条件,求出了具体的结果:
因为(x)xC(x23),所以当xxC(x23)时,有C(x23)0,则
.3。
x.3,即函数(x)xC(x23)的不动点为x*
而(x)12Cx,
根据局部收敛性定理,
o时,迭代格式收敛到3;
取X0=2为迭代的初始近似值。
迭代的结果列表如下:
k
1.8889
1.8795
1.8794
因为x3x>
o.。
。
1-103,符合计算的精度要求,所以
xx31.8794。
应用该迭代公式求0.324的倒数,列表计算如下
3.084
3.0864
所以」3.0864。
0.324
如果将方程-c0改写为等价的cx10,则有f(x)cx1,相应的迭
代公式为
cxk11
Xk1xk
cc
无法展开迭代。
9•设a为已知数,试用牛顿法导出求na的迭代公式,并求极限
设a为正实数,n为自然数,由牛顿法,方程f(x)xna0的解为
Xk
nn
nXkXka
n1
nXk
(n
Xka
1)x:
a
n1nXk
[(nn
此即求na的迭代公式。
由此,则
1)Xk
ai]
na
lim——
-[(n
..Xk1
lim—:
2
k(naXk)
11n1
-[(n1)a(1n)x^n1]limn
(naXk)2
na」[(n1)XkaXkn]limk
(:
aXk)2
(1)(naXk)
2[(nn
1)a(1n)Xkn]
2(幅Xk)
2[(a(n
:
1n)(n用1]
2
(1)
a(1n)
ia(1n)a(1n)
1n
2x;
2kimx;
n2(na)n1
2na
kim
lim
本题中,表面上是k
是极限过程中实际的变量。
本质上。
本题实际上是求极限
n—na-[(n1)Xk
yaXk1n
lim—尸2lim
k(naXk)2k
na-[(n1)xax1n]
lim_2
xna(nax)2
由于讨论的是0型不定式,且不定式的分母上有2次的“0”因子,因此两
次应用罗必塔法则。