高考数学复习14 函数与导数高考数学复习突破学Word下载.docx
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f(x)的大致图象如下:
∴a=1,b=.
③0<
a≤1<
b<
2时,由图象知f
(1)==1,
得a=1,由a<
b,知1<
2,此时与②一样.
综上:
a=1,b=.
【思维升华】 函数的图象形象直观地显示了函数的性质,所以通常用函数图象研究函数的最值、单调区间、交点个数和含参数的方程或不等式的解集等问题,体现了数形结合的数学思想.
【跟踪训练】
(1)设函数f(x)=若方程f(x)=m有三个不同的实根,则实数m的取值范围为________.
(2)(2013·
天津变式)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f()≤2f
(1),则a的取值范围是________.
【答案】
(1)(-,0)
(2)
【解析】
(1)作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
当x>
0时,f(x)=x2-x=(x-)2-≥-,
所以要使方程f(x)=m有三个不同的实根,
则-<
m<
0,即m的取值范围为(-,0).
题型三 函数的值域与不等式恒成立问题
【例3】 已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<
1),在区间2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(2x)-k·
2x≥0在x∈-1,1]上恒成立,求实数k的范围.
【思维启迪】 对于恒成立问题,若能转化为a>
f(x)(或a<
f(x))恒成立,则a必须大于f(x)的最大值(或小于f(x)的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解.若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.
【解析】
(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.
当a>
0时,g(x)在2,3]上为增函数,
故即解得
当a<
0时,g(x)在2,3]上为减函数,
因为b<
1,所以a=1,b=0.
(2)方程f(2x)-k·
2x≥0化为2x+-2≥k·
2x,
即1+()2-≥k.令=t,则k≤t2-2t+1,
因为x∈-1,1],所以t∈,2],记φ(t)=t2-2t+1,
所以φ
(1)min=0,所以k≤0.
【思维升华】 解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置;
不等式恒成立问题关键是看不等式的特点,灵活运用函数的性质,如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等;
已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点,可运用函数的图象处理.
【跟踪训练】 定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0);
(2)求证:
f(x)为奇函数;
(3)若f(k·
3x)+f(3x-9x-2)<
0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
当≥0即k≥-1时,对任意t>
0,f(t)>
0恒成立⇔
解得-1≤k<
-1+2.
综上所述,当k<
-1+2时,f(k·
0对任意x∈R恒成立.
题型四 函数的实际应用
【例4】 据气象中心观察和预测,发生于M地的沙尘暴一直向正南方
向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线
段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分
的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路线s(km).
(1)当t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km.试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?
如果不会,请说明理由.
思维启迪 本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中的行程问题,要分析出每段的速度随时间的关系式,再求距离.
(1)由图象可知:
当t=4时,v=3×
4=12,
∴s=×
4×
12=24.
(2)当0≤t≤10时,s=·
t·
3t=t2;
当10<
t≤20时,s=×
10×
30+30(t-10)=30t-150;
当20<
t≤35时,s=×
30+10×
30+(t-20)×
30-×
(t-20)×
2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
【思维升华】
(1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解.
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.
(3)在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.
【跟踪训练】
如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地
平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的
轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>
0)表示的曲线上,其中k与发射
方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程.
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?
请说明理由.
(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,
由实际意义和题设条件知x>
0,k>
0,
故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>
0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>
使3.2=ka-(1+k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根
⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时,可击中目标.
专题二高考中导数的应用的问题
题型一 利用导数研究函数性质
【例1】 (2015·
课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【思维升华】 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性,可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题;
含参函数的最值问题是高考的热点题型,解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论,此时要注意结合导函数图象的性质进行分析.
【跟踪训练】 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
题型二 利用导数研究不等式问题
【例2】 已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)证明:
对一切x∈(0,+∞),都有lnx>
-成立.
(1) ∀x∈(0,+∞),有2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,
设h(x)=2lnx+x+(x>
0),
则h′(x)=,
①当x∈(0,1)时,h′(x)<
0,h(x)单调递减,
(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.
(2)证明不等式,可以转化为求函数的最值问题.
【跟踪训练】 已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f
(1)处的切线方程为x+2y-3=0.
0,且x≠1时,f(x)>
.
(1) f′(x)=-.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),
故即
解得a=1,b=1.
(2)证明 由
(1)知f(x)=+,
所以f(x)-=.
考虑函数h(x)=2lnx-(x>
则h′(x)=-=-.
所以当x≠1时,h′(x)<
0.而h
(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>
0,可得h(x)>
0;
当x∈(1,+∞)时,h(x)<
0.
从而当x>
0,且x≠1时,f(x)->
即f(x)>
题型三 利用导数研究函数零点或图象交点问题
【例3】 设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.
(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>
0).
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
则φ′=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ′(x)>
0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<
0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点.
∴φ(x)的最大值为φ
(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),
可知
用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;
另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合思想画草图确定参数范围.
【跟踪训练】 已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f′
(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)g(x)=2lnx-x2+m,
则g′(x)=-2x=.
∵x∈,e],
∴当g′(x)=0时,x=1.
当<
x<
1时,g′(x)>
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