福师大网络教育《复变函数》网络作业答案Word下载.docx

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1、=；

=。

2、设是1的次根，，则=0。

3、在映射下，扇形区域的像区域为。

4、若，则=。

三、计算

1、计算下列函数值：

1）；

2）。

1）、

解：

主值,

2）、

设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，则有x2-y2=3，且2xy=4，

求得x=2，y=1，或x=-2y=-1，

故3+4i的平方根是2+i，或-2-i，

故答案为：

2+i，或-2-i

2、下列函数在复平面上何处可导？

何处解析？

1）；

2）。

因为f（z）=|z|当趋于0-时f（z）=|-1；

当趋于0+时f（z）=|1；

右极限不等于左极限。

所以f（z）=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）。

仅在直线上可导，在复平面上处处不解析。

3、函数是否为解析函数？

求出其导数。

不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域

4、已知，求。

5、计算积分1）；

2）；

在内只有一个极点，所以令，所以

3）；

解:

4）。

四、证明：

若积分路径不经过，则。

证明：

如果积分路径不经过，且不绕过，则由柯西定理得，

若积分绕z=转圈，则积分值为

若绕z=-i转圈，则积分值为

故在一般情况下，积分值为

五、证明：

设是的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？

判断并给出理由：

1）（为常数）；

1）证明：

2）不是的共轭调和函数

因为在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数（可能多值）的实部或虚部，反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数。

和不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。

综上所述，不是的共轭调和函数。

复变函数作业二

一、判断

1、在z=0收敛，在z=3发散。

2、在区域内解析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f（z）展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数。

3、在圆环区域内不能展开成罗朗级数。

4、z=0是的本性奇点。

1、的收敛半径为。

2、展开成z的幂级数的收敛半径=。

3、z=0是的3级零点。

4、以z=a为m级和n级极点，则z=a为的m+n级极点。

1、求在处的泰勒展开式。

2、求

3、求在z=1处的泰勒展开式。

当z=1时，此函数的泰勒展开式为：

（z-1）^3-（z-1）^2-3（z-1）

4、将在以为中心的圆环域内展开为罗朗级数。

四、若为整函数，且，则是不高于n次的多项式。

当　　　　时，令

当时，

复变函数作业三

一、判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）

1、若在区域内单叶解析，则在内。

2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。

3、解析函数具有保形性。

（F）

4、函数在可去奇点处的留数为0。

二、填空题

1、方程在单位圆内有 

6 

个根。

2、关于的对称点为x²

+（y-1）²

=1。

3、，则=－4。

4、在点处的旋转角为 

，伸缩率为 

20 

。

三、计算题

1、

设

f1（z）=1/[（z-2）（z-48）（z-50）]，

f2（z）=1/[（z-1）（z-48）（z-50）]，

f3（z）=1/[（z-1）（z-2）（z-50）]，

则答案为2πi[f1

（1）+f2

（2）+f3（48）]

2、

3、

4、求把平面的单位圆变为平面的单位圆，并使1成为不动点，使

变为无穷远点的线性变换。

依题意得，设，因为1+i关于单位圆的对称点为，无穷远点关于单位圆的对称点是0，

5、求把平面的单位圆变为平面的单位圆的线性变换，使。

设圆周内部一点Z=a（）变为w=0,点a（a0）关于单位圆周对称点，应该变为w=0关于单位圆周的对称点，因此所求变换具有形式为：

其中为常数，

当时，，故取z=1，对应点w满足

因此令

从而所求的变换为

.