知识讲解《空间向量与立体几何》全章复习与巩固基础Word文件下载.docx
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方向相同且模相等的向量.
相反向量:
方向相反但模相等的向量.
共线向量(平行向量):
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.
平行于记作,此时.=0或=.
共面向量:
平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
要点诠释:
(1)数学中讨论的向量是自由向量,即与向量的起点无关,只与大小和方向有关.只要不改变大小和方向,空间向量可在空间内任意平移;
(2)当我们说向量、共线(或//)时,表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线.
(3)对于任意一个非零向量,我们把叫作向量的单位向量,记作.与同向.
(4)当=0或时,向量平行于,记作;
当=时,向量垂直,记作.
要点二:
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算:
运算类型
几何方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则:
加法交换率:
加法结合率:
2三角形法则:
减
三角形法则:
乘
是一个向量,满足:
>
0时,与同向;
<
0时,与异向;
=0时,=0
∥
数
积
1.是一个数:
;
2.,或
=0.
要点三:
空间向量基本定理
共线定理:
两个空间向量、(≠),//的充要条件是存在唯一的实数,使.
共面向量定理:
如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数,使.
(1)可以用共线定理来判定两条直线平行(进而证线面平行)或证明三点共线.
(2)可以用共面向量定理证明线面平行(进而证面面平行)或证明四点共面.
空间向量分解定理:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使.
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底;
(2)由于零向量可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是零向量0.
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
要点四:
空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若,,则
①;
②;
③的中点坐标为.
空间向量运算的的坐标运算
设,,则
①;
②;
③;
④;
⑤,;
⑥.
空间向量平行和垂直的条件
①,,;
②.
(1)空间任一点的坐标的确定:
过作面的垂线,垂足为,在面中,过分别作轴、轴的垂线,垂足分别为,则.如图:
(2)夹角公式可以根据数量积的定义推出:
,其中θ的范围是.
(3)与任意空间向量平行或垂直.
要点五:
用向量方法讨论垂直与平行
图示
向量证明方法
线线平行
(//)
//
(分别为直线的方向向量)
线线垂直
()
线面平行
,即
(是直线的方向向量,是平面的法向量).
线面垂直
(是直线的方向向量,是平面的法向量)
面面平行
(分别是平面,的法向量)
面面垂直
(,分别是平面,的法向量)
(1)直线的方向向量:
若、是直线上的任意两点,则为直线的一个方向向量;
与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
(2)平面的法向量:
已知平面,直线,取的方向向量,有,则称为为平面的法向量.一个平面的法向量不是唯一的.
要点六:
用向量方法求角
异面直线所成的角
(,是直线上不同的两点,,是直线上不同的两点)
直线和平面的夹角
(其中直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的角为)
二面角
(平面与的法向量分别为和,平面与的夹角为)
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角的大小等于,的夹角的大小。
②当法向量,的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于,的夹角的补角的大小。
要点七:
用向量方法求距离
点到平面的距离
(为平面的法向量)
与平面平行的直线到平面的距离
(是平面的公共法向量)
两平行平面间的距离
(是平面,的一个公共法向量)
(1)在直线上选取点时,应遵循“便于计算”的原则,可视情况灵活选择.
(2)空间距离不只有向量法一种方法,比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法.
(3)各种距离之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法.
要点八:
立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1.建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(化为向量问题)
2.通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题;
(进行向量运算)
3.把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.(回到图形问题)
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤
1.建立适当的空间直角坐标系;
2.写出相关点的坐标及向量的坐标;
3.进行相关的计算;
4.写出几何意义下的结论.
【典型例题】
类型一:
空间向量的概念及运算
例1.在四面体中,,,,为的中点,为的中点,则=________(用,,表示).
【思路点拨】将,,看作已知条件,不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则,层层推进,最终得到的向量表示.
【答案】
【解析】
【总结升华】1.类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途.用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化.2.由于四点共线,故最后的结果可以用共面向量定理检查,即若=,则.
举一反三:
【变式1】如图,在三棱柱中,是的中点,化简下列各式:
(1);
(2);
(3).
【变式2】如图,在平行六面体中,为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是()
A.B.
C.D.
【答案】A
法一:
.
法二:
故选A.
类型二:
例2.设=(1,5,-1),=(-2,3,5).
(1)当()∥()时,求的值;
(2)当(-3)⊥(+)时,求的值.
【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算.
(1)∵(1,5,-1),(-2,3,5),
∴(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(1,5,-1)-(-6,9,15)=(7,-4,-16).
(1,5,-1)+(-2,3,5)=(,,)+(-2,3,5)=(,,).
∵∥(),
∴,解得.
(2)由()⊥()(7,-4,-16)·
(,,)=0
,
解得.
【变式1】已知,设在线段上的一点M满足,则向量的坐标为________.
【变式2】
(2015秋齐齐哈尔校级期中)已知,则向量与夹角的余弦值为________.
【变式3】空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=60°
,则等于()
A.B.C.D.0
【答案】D
设,,,则,
所以.
所以OA⊥BC.所以.
类型三:
共线和共面向量定理的应用
例3.已知平行四边形,从平面外一点引向量,,,.求证:
(1)四点共面;
(2)平面//平面.
【思路点拨】
(1)利用共面向量定理证明四点共面;
(2)由向量共线得到线线平行,利用平面平行的判定定理证明.
(1),
∵,
由共线向量定理可知,点共面.
(2),
∴//
又∵平面,平面,
∴∥平面.
同理∥平面,
∴平面//平面.
【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进行求解.若要证明两直线平行,只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可.在本题第
(1)题的解析中运用了共面向量定理的推论,其实利用共面向量定理也可以给予证明,同学们试一试.
【变式1】与向量平行的单位向量的坐标为()
A.(1,1,0)B.(0,1,0)C.(1,1,1)D.或.
【答案】D
【变式2】已知三点不共线,为平面外一点,若由向量确定的点与共面,那么
类型四:
空间向量在立体几何中的应用
例4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD、PB的中点.
(1)求证:
EF⊥平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值.
【思路点拨】证明线面垂直,求线面所成角的问题,题设中的垂直关系易考虑建立空间直角坐标系,
(1)转化为求;
(2)先求平面AEF的法向量,再利用公式求解.
(1)建立空间直角坐标系(如图).
设AD=PD=1,AB=2a(a>0),
则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.
∴,,.
∵,
∴,即EF⊥AB.
同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,∴EF⊥平面PAB.
(2)由AB=BC,得,即,得,,,
有,,.
设平面AEF的法向量为=(x,y,1),
由得
解得
于是.
设AC与平面AEF所成的角为,与的夹角为,
则.
【总结升华】在空间图形中,如果线段较多,关系较为复杂(如平行、垂直、角和距离等均有涉及),常常需要多种方法灵活使用,合理结合,才能达到较为理想的效果,在建立坐标后,应根据条件确定相应点的坐标,然后通过向量的坐标计算解决相应问题.
【变式1】
(2015上海)如图,在长方体中,,,、分别是棱、的中点,证明、、、四点共面,并求直线与平面所成的角的大小.
如图,以为原点建立空间直角坐标系,
可得有关点的坐标为,,,,,.
因为,,
所以,因此直线与直线共面,即,,,四点共面.
设平面