讲义6：排列组合与二项式定理文档格式.doc

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排列、组合与二项式定理

授课时间

备课时间

教学目标

1、掌握加法原理与乘法原理，会用来解决一些简单的实际问题；

2、理解排列、组合的概念,掌握排列数、组合数公式，并能解决简单的实际问题；

3、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

重点、难点

1.加法原理与乘法原理；

二项展开式有关问题；

2.排列、组合综合题的解题思路。

考点及考试要求

掌握加法原理与乘法原理；

理解排列、组合的概念，掌握排列数和组合数公式，并能用来解决实际问题；

掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数及二项式系数和等相关问题。

教学内容

一、知识巩固与例题分析

一）两个基本原理

1、加法原理（分类计数原理）

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法。

2、乘法原理（分步计数原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……

做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：

3、加法原理与乘法原理的区别

加法原理：

方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

乘法原理：

各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

【例1】

（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（）

A．81 种 B．64种 C．24种 D．4种

（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）

A．81种 B．64种 C．24种 D．4种

二）排列

（1）排列：

从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

（2）排列数公式：

==n·

（n－1）…（n－m+1）

（3）全排列：

=n!

【例1】电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）。

【例2】

（1）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）

（A）36个 （B）24个（C）18个 （D）6个

（2）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）

（A）108种　　　（B）186种　　　　（C）216种　　　　（D）270种

（3）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

（A）6　（B）12　　　　（C）18　　　（D）24

（4）高三

（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040

【例3】用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　　个。

三）组合

（1）组合：

从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示。

【小秘书】排列与组合的区别：

（2）组合数公式：

Cnm==；

（3）组合数的性质：

①Cnm=Cnn-m；

②C=C+C；

③Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；

④Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1。

【例1】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）

（A）10种　　　　　（B）20种　　　　　（C）36种　　　　　（D）52种

【例2】将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）

（A）３０种　　　（B）９０种（C）１８０种　　　　（D）２７０种

【例3】

（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_________种。

（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）

（A）150种 （B）180种 （C）200种 （D）280种

解析

（2）人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种，所以共有150种，选A。

【小秘书】解决排列组合问题常见的解题方法有：

直接法，间接法，捆绑法，插空法，隔板法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。

（1）直接法：

根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。

（2）间接法：

不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。

当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。

（3）捆绑法：

关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。

（4）插空法：

若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种方法叫插空法。

【典型例题分析】

1.优先考虑：

对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

（1）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。

（3）5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。

小试身手：

1、现有6名同学站成一排：

（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？

（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？

2、用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？

2.捆绑法：

（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。

（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。

1、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起，则不同的5位数共有_________个。

2、有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间只有三名学生，这样的排法共有种。

3.插空法：

（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。

1、七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种

2、有6名同学站成一排：

甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？

3、有4男4女排成一排，要求

（1）女的互不相邻有种排法；

（2）男女相间有种排法。

4.间接法：

先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

【例4】

（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。

（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（3）从6名短跑运动员中选4人参加4´

100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？

1、某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为________。

2、6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？

5.先组后排：

排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

【例5】

（1）用1、2、3、¼

9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。

（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。

（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有种分配方法。

1、有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有种参加方式。

2、从两个集合和中各取两个元素组成一个四位数，可组成个数。

6.除以排列数：

对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。

【例6】

（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有种。

（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有_______个。

（3）书架上放有5本书（1~5册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法。

1、书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法。

2、9人（个子长短不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种排法。

7.对象互调：

有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。

【例7】

（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有种放映次序。

（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有种。

（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。

1、某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。

2、三个人坐在一排7个座位上，

（1）若3个人中间没有空位，有种坐法。

（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。

【小结】

练兵场：

1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，共有______种站法。

2．翰林39.