高考题数学理.docx

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高考题数学理

2018年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷

理科数学

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设z＝＋2i，则|z|＝（　　）

A．0　　　　　　　　　B.

C．1D.

C　【考查目标】　本题主要考查复数的运算与复数的模的概念，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　通解：

因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.

优解：

因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1，故选C.

【方法总结】　求解此类问题需过两关：

一是“运算关”，即熟练掌握复数的四则运算，对复数能准确快速地进行加法、减法、乘法与除法运算；二是“概念关”，明晰复数的相关概念及结论，如本题若能利用结论||＝可提升求解速度．

2．已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

B　【考查目标】　本题主要考查集合的补集运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　通解：

A＝{x|（x－2）（x＋1）＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

优解：

因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

【方法总结】　求解此类题的关键：

一是会化简集合；二是借形解题，有关集合的补集、交集、并集问题，需深刻理解集合的相关概念，通过观察集合之间的关系，借助数轴寻求元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：

则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

A　【考查目标】　本题主要考查以实际生活为背景的统计知识等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算、数据分析．

【解析】　通解：

设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.

优解：

因为0.6＜0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.

【误区警示】　审题时若没有注意到建设后农村的经济收入翻番，而直接观察饼图进行比较，就会得到错误的选项．

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）

A．－12B.－10

C．10D.12

B　【考查目标】　本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　通解：

设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3（3a1＋d）＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10.故选B.

优解：

设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，

∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10.故选B.

5．设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y＝－2xB.y＝－x

C．y＝2xD.y＝x

D　【考查目标】　本题主要考查奇函数的定义、导数的几何意义，考查运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　通解：

因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），

所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以2（a－1）x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.

优解一：

因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－1）＋f

（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.

优解二：

易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）＝x2＋（a－1）x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f′（x）＝3x2＋1，所以f′（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.

【方法总结】　破解此类题的关键：

一是活用奇函数的定义，寻找关于参数的方程，若能用特殊代替一般，如优解一，则可快速求出参数的值；二是会利用导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程．

6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）

A.－B.－

C.＋D.＋

A　【考查目标】　本题主要考查平面向量的线性运算，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．

【解析】　通解：

如图所示，＝＋＝＋＝×（＋）＋（－）＝－，故选A.

优解：

＝－＝－＝－×（＋）＝－，故选A.

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2B.2

C．3D.2

B　【考查目标】　本题主要考查三视图、空间几何体的直观图、最短路径，考查考生的空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学建模、直观想象、数学运算．

【解析】　由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B.

【方法总结】　求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问题的关键是过好双关：

一是还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原出空间几何体的直观图；二是转化关，即把空间问题转化为平面问题去解决．

8．设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过点（－2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝（　　）

A．5B.6

C．7D.8

D　【考查目标】　本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算，考查数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

【解析】　通解：

过点（－2，0）且斜率为的直线的方程为y＝（x＋2），

由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M（1，2），N（4，4），易知F（1，0），所以＝（0，2），＝（3，4），所以·＝8.故选D.

优解：

过点（－2，0）且斜率为的直线的方程为y＝（x＋2），由得x2－5x＋4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F（1，0），所以＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），所以·＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝x1x2－（x1＋x2）＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.

【方法总结】　破解此类题的关键：

一是会用点斜式写出直线的方程；二是会联立方程，求出直线与抛物线的交点的坐标；三是会用公式，即会利用平面向量的数量积的坐标公式求出平面向量的数量积．

9．已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．[－1，0）B.[0，＋∞）

C．[－1，＋∞）D.[1，＋∞）

C　【考查目标】　本题主要考查分段函数的零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．

【解析】　函数g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f（x）＝－x－a有2个不同的实根，即函数f（x）的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f（x）的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

【方法总结】　破解此类题的关键：

一是会转化，先把函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为两个函数图象的交点问题；二是会借形解题，即作出两函数的图象，数形结合可快速找到参数所满足的不等式，解不等式即可求出参数的取值范围．

10．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2B.p1＝p3

C．p2＝p3D.p1＝p2＋p3

A　【考查目标】　本题主要考查几何概型，考查考生的化归与转化能力、运算求解有力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

【解析】　通解：

设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×＋π×－[－bc]＝π（c2＋b2－a2）＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.

优解：

不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－[－2]＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.

11．已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A.B.3

C．2D.4

B　【考查目标】　本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

【解析】　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不防设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（2，0），所以直线MN的方程为y＝－（x－2），

由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.

【方法总结】　破解此类题的关键：

一是会“用图”，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁，如本题，观察图形，快速寻找直角三角形中直角的位置；二是运算准确，求解圆锥曲线试题运算要准确．

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）

A.B.

C.D.

A　【考查目标】　本题主要考查直线与平面所成的角、截面面积的最值，考查考生的化归与转化能力、空间