数学山西省太原市太原二中届高三下学期期中考试理Word下载.docx

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x为渐近线的双曲线标准方程为________．

10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是________cm3.

11.函数y＝asin（ax＋θ）（a>

0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．　

12.Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________．

13.函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________．

14.由sin36°

＝cos54°

，可求得cos2016°

的值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

如图：

四棱锥P-ABCD中，PD＝PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点．

（1）求证：

AM∥平面PBC；

（2）求证：

CD⊥PA.

16.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝（a－c，b＋c），n＝（b－c，a），且m∥n.

（1）求B；

（2）若b＝，cos＝，求a.

17.（本小题满分14分）

如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．

（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；

（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．

18.（本小题满分16分）

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，左顶点为A（－3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．

（1）求椭圆方程；

（2）求圆O方程；

（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．

19.（本小题满分16分）

已知数列{an）的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数λ，使得对任意正整数n都有Sn＝（1＋λ）an－λ恒成立．

（1）求λ值，使得数列{an）为等差数列，并求数列{an）的通项公式；

（2）若数列{an}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k<

j时，有ai＝2016，求k.

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝[ax2－（2a＋1）x＋2a＋1]ex.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设x>

0，2a∈[3，m＋1]，f（x）≥b2a－1恒成立，求正数b的范围．

数学附加题每小题10分，共40分．考试用时30分钟．

【选做题】21.在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.选修4—1：

几何证明选讲

在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：

AP·

AN＋BP·

BM＝AB2.

B.选修4—2：

矩阵与变换

求矩阵的特征值及对应的特征向量．

C.选修4—4：

坐标系与参数方程

已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为（θ为参数），设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

D.选修4—5：

不等式选讲

设x，y均为正数，且x>

y，求证：

x＋≥y＋3.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.

（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；

（2）求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．

23.（本小题满分10分）

证明：

对一切正整数n，5n＋2·

3n－1＋1能被8整除．

参考答案

一、填空题（每小题5分）

1.[0，1]　2.－i　3.　4.1　5.240

6.　7.（－2，0）∪（2，＋∞）　8.④　9.－＝1

10.3π　11.2　12.　13.[－，1）∪（1，＋∞）　14.－

本大题共6小题，共计90分．

15.证明：

（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，点M是CD的中点，

由AB∥CM，且AB＝CM，

所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形（3分）

⇒故AM∥平面PBC，（7分）

（2）连接PM，因为PD＝PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM，（8分）

又因为四边形ABCM是矩形，CD⊥AM，（9分）

⇒CD⊥平面PAM.（12分）

又因为AP⊆平面PAM，（13分）

所以CD⊥PA.（14分）

16.解：

（1）因为m∥n，所以a2＋c2－b2＝ac，（2分）

因为cosB＝＝＝，（4分）

B∈（0，π）（5分）

故B＝.（6分）

（2）因为A＋∈，（7分）

cos＝，所以sin＝，（9分）

所以sinA＝sin＝，（11分）

在△ABC中，由正弦定理可得：

＝，（13分）

解得a＝1.（14分）

17.解：

（1）如图，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，

因为cos∠AOH＝，（1分）

要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，

d≤OP＝5km，（3分）

当且仅当AB⊥OP时，dmin＝5km.

此时αmin＝2∠AOH＝2＝.（4分）

设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，

根据题意可得：

S＝f（α）＝S扇形－S△AOB＝50（α－sinα），（6分）

f′（α）＝50（1－cosα）≥0恒成立，f（α）为增函数，（7分）

所以Smin＝f＝50km2.（8分）

答：

视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.（9分）

（2）如图，分别过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD垂足分别是H，

H1，

记OH＝d，OH1＝d2，由

（1）可知d1∈[0，5]

所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d（10分）

因为AB＝2，CD＝2，

所以AB＋CD＝2（＋）＝2（＋），（11分）

记L（d1）＝AB＋CD＝2（＋），

可得L2（d1）＝4[175＋2]，

（12分）

由d∈[0，25]，可知d＝0，或d＝25时，L2（d1）的最小值是100（7＋4），

从而AB＋CD的最小值是20＋10km.（13分）

两条公路长度和的最小值是20＋10km.（14分）

18.解：

（1）由题意可知＝，a＝3，得：

c＝，（2分）

因为a2＝b2＋c2，所以b2＝，（3分）

故椭圆的标准方程是：

＋＝1.（4分）

（2）设直线AE的方程：

y＝k（x＋3），点E（x1，y1），

由可得（4k2＋1）x2＋24k2x＋36k2－9＝0.（5分）

因为－3＋x1＝－，得x1＝，代入直线y＝k（x＋3），得y1＝，

所以E，（7分）

同理可得F，（9分）

根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离．

可得＝||＝r，解之得k2＝，（10分）

从而r2＝1，所以圆O的方程为：

x2＋y2＝1.（11分）

（3）设直线BM的方程为y＝kx±

，因为直线BM与圆O相切，

所以d＝r，解得k＝±

，

（14分）

当k＝，lBM：

y＝x＋，

由，解得x2＋x＝0.（11分）

所以M（－，－1），（12分）

同理可得N（，－1）．（13分）

可得直线MN方程是：

y＝－1，（15分）

直线MN与圆O的位置关系是相切．（16分）

19.解：

（1）（法一）：

因为Sn＝（1＋λ）an－λ，　①

所以Sn＋1＝（1＋λ）an＋1－λ，　②

②－①得：

λan＋1＝（1＋λ）an，　③（2分）

当λ＝0时，an＝0，数列{an}是等差数列．（4分）

当λ≠0时，a1＝（1＋λ）a1－λ，a1＝1，且an＋1－an＝an，　④

要使数列{an}是等差数列，则④式右边an为常数，即an＋1＝an为常数，

④式左边an＋1－an＝0，an＝0，又因为a1＝1，矛盾（6分）

综上可得：

λ＝0时，数列{an}为等差数列，且an＝0.（7分）

（法二）：

若数列{an}是等差数列，必有2a2＝a1＋a3，

当λ＝0时，a1＝a2＝a3＝0，满足2a2＝a1＋a3，（1分）

此时Sn＝an，从而Sn＋1＝an＋1，（3分）

故an＝0，（4分）

当λ≠0时，a1＝1，a2＝1＋，a3＝，（5分）

由2a2＝a1＋a3，得2＝1＋，该方程无解，（6分）

λ＝0时，数列{an}为等差数列，其中an＝0.（7分）

（2）当

（1）可得：

当λ＝0时，不是等比数列，（8分）

当λ＝－1时，由①得Sn＝1，则a1＝S1＝1，

an＝Sn－Sn－1＝0（n≥2），不是等比数列．（9分）

当λ≠0，且λ≠－1时，得＝1＋，{an}为公比是q＝1＋等比数列，（10分）

又对任意n，an∈N，则q＝1＋∈N，

故仅有λ＝1，q＝2时，满足题意，又由

（1）得a1＝1，故an＝2n－1.（11分）

因为ai＝＝2016，

所以2k－1（2j－k＋1－1）＝2016＝25327，（13分）

j－k＋1≥2，2j－k＋1－1为大于1的奇数，2k－1＝25，k＝6，（15分）

则2j－5－1＝327，2j－5＝64，j＝11，故仅存在k＝6时，j＝11，ai＝2016.（16分）

20.解：

（1）f′（x）＝（ax2－x）ex＝x（ax－1）ex.（1分）

若a＝0，则f′（x）＝－xex，令f′（x）>

0，则x<

0；

令f′（x）<

0，则x>

若a<

0，由f′（x）>

0，得<

x<

由f′（x）<

0，得>

x或0<

x；

若a>

0，由f′（x）<

0，得0<

；

由f′（x）>

0，得x>

或x<

当a＝0时，函数f（x）的增区间是（－∞，0），减区间是（0，＋∞）；

（3分）

当a<

0时，函数f（x）的增区间是，减区间是（0，＋∞），；

（5分）

当a>

0时，函数f（x）的增区间是（－∞，0）