中考数学试题最新分类汇编图形的相似文档格式.docx
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则=，
∴h=1.5m．
故答案为：
1.5米．
点评：
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
（2013，成都）如图，点在线段上，点，在同侧，，，.
（1）求证：
；
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线与点；
）当点与，两点不重合时，求的值；
）当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；
（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴，；
设AP=，QH=，则有
∴BH=，PH=+5
∴，即
又∵P不与A、B重合，∴即，
∴即
∴
（3）
（2013•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．
作图—应用与设计作图．
专题：
作图题．
分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．
根据勾股定理，斜边AB==4，
①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，
∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，
∴=，
解得r=4﹣4，
②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，
解得r=2，
作出图形如图所示：
本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．
（2013•眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________
（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC＝，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF。
⑴求证：
△DEC∽△FDC；
⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度。
（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。
重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。
请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？
如果是，请证明；
如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。
2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：
S△ABF=4：
25，则DE：
EC=（ ）
A．
2：
5
B．
3
C．
3：
D．
2
相似三角形的判定与性质；
平行四边形的性质．
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：
10：
25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：
EC的值，由AB=CD即可得出结论．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：
25，
∴DE：
AB=2：
5，
∵AB=CD，
EC=2：
3．
故选B．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
（2013•内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
相似形综合题．
（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；
（3）如图4，根据
（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°
，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．
（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°
．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°
，
∴BH=BC=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=．
∴S△ABC==；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°
，∠DAG=30°
∴DG=x，AG=x，
∴y==x2，
∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y最大=，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3﹣x，
∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，
∴MG=（3﹣x），
∴y=，
=﹣；
（3），如图4，∵y=﹣；
∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，
y=﹣（x﹣2）2+，
∵a=﹣＜0，开口向下，
∴x=2时，y最大=，
∵＞，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°
，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°
∴∠OME=30°
∴∠DME=90°
∴DE是直径，
S⊙O=π×
12=π．
（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：
S四边形BCED的值为（ ）
1：
4
全等三角形的判定与性质；
三角形中位线定理．
先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：
2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：
S△ABC=1：
4，则S△ADE：
S四边形BCED=1：
3，进而得出S△CEF：
∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：
2，
∴S△ADE：
4，
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，
3，
∴S△CEF：
故选A．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．
本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．
（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：
BE=4：
3，且BF=2，则DF= ..
由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：
DF=BE：
CD问题得解．
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：
∴BE：
AB=3：
7，
CD=3：
7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：
即2：
DF=3：
∴DF=．
此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；
②FG=2；
③tan∠E=；
④S△DEF=4．
其中正确的是 ①②④ （写出所有正确结论的序号）．
垂径定理；
圆周角定理．
①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：
=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．
①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2
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