数学分析多元函数的微分学Word下载.docx
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且在处连续,则在可微.
证明:
定理3:
(二元函数中值定理)条件如定理2,则
函数连续、偏导数、可微分的关系
连续
3
,连续
可微
12
,存在
4
在上述关系中,反方向均不成立.下面以点为例,逐一讨论.
42,43例1:
均存在,但在点不可微,且不存在,即在点不连续.
34,32例2:
,这是上半圆锥,显然在点连续,
但
故不存在.由的对称性,不存在.从而,在点不可微(否则,,均存在).
21例3:
,
由的对称性,.
()
故在点可微.
取点列,,,显然
故不存在,从而在点不连续.由的对称性,在点也不连续.
对一元函数,可微与可导是等价的,即:
可微可导.但对二元函数,可微与偏导存在并不等价,即:
可微偏导存在,反之未必.应特别引起注意.
例4:
设
讨论在原点的连续性,偏导数的存在性,可微分性.
例5:
讨论下列函数在原点的连续性,偏导数的存在性,可微分性,偏导数存在性.
例3:
设,求
14.2复合函数微分法
设,
且:
设时可微,可微,则
在可微.且:
思考:
推广元函数的链锁求导法则.
一般若
,求
设可微,,证明:
求
多重复合函数的求导:
求解道路图:
14.3复合函数的全微分不变性.
设可微,则,又若,则
因此上式关于一阶全微分形式的不变性.
14.4方向导数和梯度
设三元函数在点的一个领域内,从出发的射线,为上的一点,设
若存在,则此极限称为在点沿的方向导数.记为
方向导数和偏导数的关系.
若三元函数在点可微,则在点沿的方向导数存在,若设的方向余弦,则
P是上任意一点,
又因为在点可微,则:
设,求在点沿方向导数.
定义2(梯度)设在点存在所有自变量的偏导数,则为函数在点的梯度,记为
当夹角为0,达到最大值.
当夹角为达到最小值-
对多元函数,前面曾讨论了它在某点的可微、偏导数、连续之间的关系.下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系.如下图
2
,,存在
135
,,存在
14课本定理
35由偏导数定义和方向导数定义即得.
43,53
例:
函数在点沿任意方向的方向导数存在,
z
特别地,沿坐标轴正、负向的方向导数为
,.y
但不存在.同理,不存在.
从上面的讨论不难看出,关于3、5有以下结论:
,存在,存在,且,这时有,.
41否则有43,与43矛盾
42例:
故在点不连续.但任意方向,当时,
,
当时,,
即在点沿任意方向的方向导数都存在
52否则有42,与42矛盾.或否则与32矛盾.
24例:
设,显然在点连续,但沿任意方向的方向导数不存在,事实上
不存在.
34例:
设,则,但
时,不存在.
设可微,为的一个确定向量,若,求
假设:
所以
因此在任何平行于的直线上函数值都为常数.
设可微,为上一组线性无关的向量,若,证明
由于为上一组线性无关的向量,
由例3得知,在为常数,由于可微分,因此连续,所以
14.4高级偏导数
定义并记:
,,
设证明
若在连续,则
推广高阶混合偏导数相等的条件.
复合函数的高阶偏导数求解方法:
设则
进一步:
求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系.在求复合函数的高阶偏导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系.只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用链式法则.
设,求所有的二阶偏导数.
,求所有的二阶偏导数.
例1设为常数,函数二阶可导,,证明
证变量之间的关系为注意这里是某变量的一元函数,而.
因为,
由的对称性得,
而,,
由的对称性得,,
,.
于是
又因为
,
故.
注1在求时,要特别注意的函数关系仍然是
注2在求时,注意正确使用导数符号,不要写成,也不要写成或.事实上,.
注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是,函数作为自变量的函数,是由中间变量复合而成,利用
我们得到了
这样把求对自变量的偏导数转化为对中间变量的偏导数,从而使计算简单了.试比较直接求的情形.
由的对称性得
则.
例2设的所有二阶偏导数都连续,
试求,,.
证注意,是对求偏导数之后,令所得的函数,而不是作为的一元函数对的导函数.
在两边对求导,得
将代入,得
上式两边对求导,得
因为有连续的二阶偏导数,则,又已知,将上两式联立解得
,.
即,.
例3若函数对任意正实数满足关系,则称为次奇次函数.设可微,试证明为次齐次函数的充要条件是
证令,则
故与无关,从而,即
方程两边分别对求导,得
将前面三式代入第四式即得
.
或在上面四式中令,得
,,,
即.
变换微分方程
例4设,,,变换方程
(假设出现的导数都连续).
解这里既有自变量的变换,,也有函数的变换.自变量由原来的变换为,函数由原来的变换为.为了把原来的函数变换为函数,可以把原来的函数视为如下的复合
,,,
即
则
故
例5设,求.
证方程确定了函数,在方程两边求微分,得
两边再求微分,得
解得
例6:
设满足:
,则也满足此方程.
例7:
,求:
例8:
设在某一个领域内存在,在在连续,证明在存在,则
14.5中值定理Taylor公式
凸区域:
设,,有
设二元函数在凸开区域上连续,在D的内点可微,则对D内任意两点,,存在,使得:
注1:
若D是闭区域,且对D上的任意两点以及任意,且有:
,则在D上连续,在INTD上可微的函数定理1成立.
注2:
若,则定理1不成立
推论1:
若函数在D上偏导数存在,且
(Taylor公式)若函数在的某个领域内有直到n+1阶连续偏导数,则对中的任意一点
上式称为在点的阶Taylor公式,这里
对用数学归纳法.时,显然
设,则
若函数在的某个领域内有直到n阶的连续偏导数,则对中的任意一点,有:
这里
Taylor公式的几种形式
若函数在点的某领域内有直到阶连续偏导数,则
(1)
其中
(2)为方便,记,则
(3
其中
这是用微分表示的Taylor公式,它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近,由此也可以看到一元函数中在二元函数的对应物是.
设,求此函数在展成2阶Taylor公式.
求在处的Taylor公式及余项表达式.
例2证明Taylor公式的唯一性:
若
其中,求证为非负整数,),并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶Taylor展开式.
证对用数学归纳法.在中令即得.设时,则,进而
在上式中令,因为,,故时,,从而
而时,不存在,故必有().由数学归纳法即得证.
令,由一元函数的Taylor公式及上面Taylor公式的唯一性得
问题1不用Taylor公式的唯一性,试求的Taylor展开式.
令,则,()
其中.
显然,用Taylor公式的唯一性,计算要简单得多.
三极值问题
若:
,则称A为正定矩阵.
若:
,则称A为负定矩阵.
,则称A为不定矩阵.
A为正定矩阵的充要条件是:
设,则,则A为不定矩阵.
若函数在的某个领域内有定义,
有,则为极大值点
有,则为极小值点
若函数在的某个领域内有定义,在存在偏导数,且为极值点,则
定义3:
为在点Hesse矩阵.
若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数,且为稳定点,则:
1)若为正定矩阵,则为极小值点
2)若为负定矩阵,则为极大值点
3)若为不定矩阵,则不是极值点
思考元函数的相应的结论.
求的极值点
求解最小二乘问题
求在上的最大值与最小值.
若函数在的某个领域内有二阶连续偏导数,且在取得极大值,则:
综合选讲:
设有连续二阶导数,证明:
满足:
讨论函数的连续性,偏导数存在性,连续性,可微性.
设在圆在沿顺时针切线方向的方向导数.
设可微,
求
设在某领域内存在,且在可微分,则
在的阶Taylor公式和余项表达试.