新课标高考二轮备考抓分点透析文专题六 立体几何Word格式文档下载.docx
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（2）直线与平面所成的角θ，0°
≤θ≤90°
（三垂线定理法：
A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：
三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：
正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为___________；
（2）点B到面ACB1的距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；
（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；
α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：
r＝3：
1。
【典型例题】
1，空间几何体及三视图
例1．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是7cm3．
图1（俯视图）图2（主视图）
例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为▲．
例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有▲个．5
例5．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度:
cm）,则此几何体的表面积是。
例6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为
例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是12+4．
2.平行与垂直
例8.已知：
正方体，，E为棱的中点．
⑴求证：
；
⑵求证：
平面；
⑶求三棱锥的体积
证明：
连结，则//，∵是正方形，∴．
∵面，∴．
又，∴面．
∵面，∴，
∴．
⑵证明：
作的中点F，连结．
∵是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴．
又，∴．
∴四边形是平行四边形，//，
∵，，
∴平面面．
又平面，∴面
例9.多面体中，，，，。
（1）求证：
（2）求证：
（1）∵
∴
（2）令中点为，中点为，连结、
∵是的中位线
又∵
∴
∴
∵为正
又∵，
∴四边形为平行四边形
例10．如图四边形是菱形，平面，为的中点.求证：
⑴∥平面；
⑵平面平面.
解：
证：
设,连
⑴∵为菱形，∴为中点，又为中点。
∴∥
又,∴∥
⑵∵为菱形，∴,
又∵，∴
又∴又
∴
3.距离与角
例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：
⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；
⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；
⑶．二面角A-BD-C的余弦值．
⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，
则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角
由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°
⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°
⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2
故二面角A—BD—C的余弦值的大小为
【点评】:
本题着眼于让学生掌握通性通法。
几何法在书写上体现：
“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。
斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。
因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；
向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）
特别地时，，；
时，，或。
⑴用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角
【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．
⑴.求PB与平面BCD所成角；
⑵.求BP与平面PCD所成的角.
【解法】
⑴.PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，
∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC，
由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，
则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，
cos∠DBP=∴∠DBP=45°
即PB与平面BCD所成角为45°
．
⑵.过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，
∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=a,∴∠BPE=30°
即BP与平面PCD所成角为30°
例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小
解析1.定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。
求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可
【解法一】过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC
∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=
同理在Rt△PBC中，，
在Rt△EFC中,FC=,在Rt△DFC中,DF=,
在△DEF中由余弦定理cos=
所求二面角B-PC-D的余弦值为
解析2.垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN。
设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；
再利用三面角公式可解
【解法二】略
解析3.利用三垂线求解 把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。
易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥PC即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可
解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC
于E，
BF⊥PC于F，连接EF即可。
利用平面知识求BF、EF、DE的长度，
再利用空间余弦定理求出θ即可
【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：
（1）定义法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１
（2）三垂线求解,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２
（3）垂面法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３
用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：
①直接利用定义，图
（1）.②利用三垂线定理及其逆定理，图
（2）.最常用。
③作棱的垂面，图（3）.
【模拟演练】
一、选择
1．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长为（）
A．B．C．D．
2．一个几何体的三视图如图所示，已知侧视图是一个等腰三角形,根据图中尺寸（单位:
）,可知这个几何体的体积是（）
A.B.C.D.
4．已知、是不重合的直线，、、是两两不重合的平面，给出下列命题：
①若则；
②若，则;
③若，；
④若其中真命题的序号为（）
A①②B①③C①④D②④
5. 在正三棱锥中，分别为、的中点，若与所成的角为，则与所成的角为（）
A. B.C.D.
7．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段上，则与平面的位置关系是（）
A．垂直
B．平行
C．相交但不垂直
D．要依P点的位置而定
11.如图所示，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬30°
的纬线（为其圆心）上，且点，，共面，点、、共线若，则异面直线与所成角的正弦值为（）
A.B.
C.D.
二、填空
13.已知一个正四棱柱内接于球，该正四棱柱高为3，体积为24，则这个球的表面积是。
14．若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是。
三解答题
17．（本题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，点是的中点。
平面平面；
。
18.（本小题满分12分）
如图所示，矩形中，G是对角线AC，BD的交点，，，F为CE上的点，且，连接FG.
求证：
//；
求三棱锥的体积.
19
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