高中数学总复习精选精讲5线性规划习题精选精讲文档格式.docx
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三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
|x|+|y|≤2等价于
作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例4、已知x、y满足以下约束条件 ,使z=x+ay(a>
0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为 ( )
A、-3 B、3 C、-1 D、1
x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>
0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选D
五、求非线性目标函数的最值
例5、已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是 ( )
A、13,1 B、13,2
C、13, D、,
如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方,即为,选C
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是 ( )
A、(-3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3)
|2x-y+m|<3等价于
由右图可知,故0<m<3,选C
线性规划的实际应用
在科学研究、工程设计、经济管理等方面,我们都会碰到最优化决策的实际问题,而解决这类问题的理论基础是线性规划。
利用线性规划研究的问题,大致可归纳为两种类型:
第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,的效益最大,第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
产品
木料(单位m3)
第一种
第二种
圆桌
0.18
0.08
衣柜
0.09
0.28
设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么而z=6x+10y.
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l:
6x+10y=0,即l:
3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组,得M点坐标(350,100).答:
应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.
指出:
资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.
解:
设每周需用谷物饲料xkg,动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元,那么,而z=0.28x+0.9y
如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作一组平行直线0.28x+0.9y=t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线的交点,即,时,饲料费用最低.
所以,谷物饲料和动物饲料应按5:
1的比例混合,此时成本最低.
要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
(例3图)(例4图)
例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本:
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
维生素B(单位/千克)
成本(元/千克)
400
800
7
600
200
6
5
营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?
最低成本是多少?
设所购甲、乙两种食物分别为x千克、y千克,则丙种食物为(10xy)千克.x、y应满足线性条件为
化简得
作出可行域如上图中阴影部分
目标函数为z=7x+6y+5(10xy)=2x+y+50,令m=2x+y,作直线l:
2x+y=0,则直线2x+y=m经过可行域中A(3,2)时,m最小,即mmin=23+2=8,∴zmin=mmin+50=58答:
甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.
本题可以不用图解法来解,比如,由得
z=2x+y+50=(2xy)+2y+504+22+50=58,当且仅当y=2,x=3时取等号
总结:
(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;
(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).
2.线性规划问题的一般数学模型是:
已知(这个式子中的“”也可以是“”或“=”号)
其中aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m),bi(i=1,2,…,n)都是常量,xj(j=1,2,…,m)是非负变量,求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值,这里cj(j=1,2,…,m)是常量.
(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:
一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;
二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
线性规划中整点最优解的求解策略
在工程设计、经营管理等活动中,经常会碰到最优化决策的实际问题,而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中,最优解(x,y)通常要满足x,y∈N,这种最优解称为整点最优解,下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解.
1.平移找解法
作出可行域后,先打网格,描出整点,然后平移直线l,直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有72m3,第二种有56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么而z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。
解方程组,得M点坐标(350,100).答:
应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评:
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。
例2有一批钢管,长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种毛坯按数量比不小于配套,怎样截最合理?
设截500mm的钢管x根,600mm的y根,总数为z根。
根据题意,得,目标函数为,
作出如图所示的可行域内的整点,
作一组平行直线x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)的直线,这时x+y=8.由于x,y为正整数,知(8,0)不是最优解。
显然要往下平移该直线,在可行域内找整点,使x+y=7,可知点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解.答:
略.
点评:
本题与上题的不同之处在于,直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B(8,0)并不符合题意,此时必须往下平移该直线,在可行域内找整点,比如使x+y=7,从而求得最优解。
从这两例也可看到,平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少,但作图要求较高。
二、整点调整法
先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.
例3.已知满足不等式组,求使取最大值的整数.
不等式组的解集为三直线:
,:
所围成的三角形内部(不含边界),设与,与,与交点分别为,则坐标分别为,,,
作一组平行线:
平行于:
,当往右上方移动时,随之增大,
∴当过点时最大为,但不是整数解,又由知可取,
当时,代入原不等式组得,∴;
当时,得或,∴或;
当时,,∴,故的最大整数解为或.
3.逐一检验法
由于作图有时有误差,有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解,此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓.
例4一批长4000mm的条形钢材,需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯,求钢材的最大利用率.
设甲种毛坯截x根,乙种毛坯截y根,钢材的利用率为P,则①,目标函数为②,线性约束条件①表示的可行域是图中阴影部分的整点.②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。
所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标.如图看到(0,5),(1,4),(2,4),(3,3),(4,2),(5,2),(6,1),(7,0)都有可能是最优解,将它们的坐标逐一代入②进行校验,可知当x=5,y=2时,.
答:
当甲种毛坯截5根,乙种毛坯截2根,钢材的利用率最大,为99.65%.
解线性规划问题的关键步骤是在图(可行域)上完成的,所以作图时应尽可能精确,图上操作尽可能规范,但考虑到作图时必然会有误差,假如图上的最优点并不十分明显易辨时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一进行校验,以确定整点最优解.
线性规划的实际应用习题精选
1.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下:
问该公司如何安排这两种产品的生产,才能获得最大的利润.最大利润是多少?
2.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下:
每张钢板的面积,第一种为1m2,第二种为2m2,今需要A、B、C三种规格的成品各12,15,17块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小.
3.某人承揽一