学霸讲义中考提分课程第17讲等腰三角形Word文档格式.docx

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①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

知识点2．等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：

等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°

．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

知识点3．直角三角形的性质

（1）有一个角为90°

的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质2：

在直角三角形中，两个锐角互余．

性质3：

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：

直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

性质5：

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

性质6：

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

二、专题精讲

例1：

1．（2014•荆州）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°

，A1B=CB；

在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；

在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（　　）

A．（）n•75°

B．（）n﹣1•65°

C．（）n﹣1•75°

D．（）n•85°

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有

【专题】规律型．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．

【解答】解：

∵在△CBA1中，∠B=30°

，A1B=CB，

∴∠BA1C==75°

，

∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，

∴∠DA2A1=∠BA1C=×

75°

；

同理可得，

∠EA3A2=（）2×

，∠FA4A3=（）3×

∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×

故选：

C．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【考点】等腰三角形的判定；

三角形内角和定理．菁优网版权所有

【专题】证明题．

【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．

共有5个．

（1）∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠EBC=∠ECB，

∴△BCE是等腰三角形；

（3）∵∠A=36°

，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=（180°

﹣36°

）=72°

又BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠ABC=36°

=∠A，

∴△ABD是等腰三角形；

同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．

A．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．

3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．7或8B．6或1OC．6或7D．7或10

【考点】等腰三角形的性质；

非负数的性质：

偶次方；

算术平方根；

解二元一次方程组；

三角形三边关系．菁优网版权所有

【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．

∵+（2a+3b﹣13）2=0，

∴，

解得，

当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；

当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8．

【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．

4．（2010•荆门）如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

坐标与图形性质．菁优网版权所有

【专题】动点型．

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：

①OA为等腰三角形底边；

②OA为等腰三角形一条腰．

如上图：

①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；

②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．

综上所述，符合条件的点P的个数共4个．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；

利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．

5．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A．2.5B．C．D．2

【考点】直角三角形斜边上的中线；

勾股定理；

勾股定理的逆定理．菁优网版权所有

【专题】几何图形问题．

【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°

，再求出∠ACF=90°

，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

∴AC=，CF=3，

∠ACD=∠GCF=45°

∴∠ACF=90°

由勾股定理得，AF===2，

∵H是AF的中点，

∴CH=AF=×

2=．

B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

6．（2015•蓬安县校级自主招生）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（　　）

A．5B．6C．7D．8

三角形的面积；

勾股定理．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】由∠ACB=90°

，CD是斜边上的中线，求出AB=6，根据AB+AC+BC=14，求出AC+BC，根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2=36推出AC•BC=14，根据S=AC•BC即可求出答案．

∵∠ACB=90°

，CD是斜边上的中线，

∴AB=2CD=6，

∵AB+AC+BC=14，

∴AC+BC=8，

由勾股定理得：

AC2+BC2=AB2=36，

∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，

AC•BC=14，

∴S=AC•BC=7．

【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质求出AC•BC的值是解此题的关键．

7．（2015春•启东市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=55°

，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

A．40°

B．30°

C．20°

D．10°

【考点】直角三角形的性质；

三角形的外角性质；

翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有

【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

∴∠B=180°

﹣90°

﹣55°

=35°

由折叠可得：

∠CA′D=∠A=55°

又∵∠CA′D为△A′BD的外角，

∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，

则∠A′DB=55°

﹣35°

=20°

【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

例2：

1.（2015•西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°

，则顶角的度数是　110°

或70°

　．

【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．

此题要分情况讨论：

当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°

+20°

=110°

当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，

故顶角是90°

﹣20°

=70°

故答案为：

110°

【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

2．（2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°

，则该等腰三角形的底角的度数为　63°

或27°

【专题】分类讨论．

【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．

在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．

①若是锐角三角形，∠A=90°

=54°

底角=（180°

﹣54°

）÷

2=63°

②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°

+90°

=126°

此时底角=（180°

﹣126°

2=27°

所以等腰三角形底角的度数是63°

63°

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．

例3：

1．（2015•深圳一模）已知：

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．

（1）求证：

△MED为等腰三角形；

（2）求证：

∠EMD=2∠DAC．

三角形中位线定理．菁优网版权所有

【分析】

（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为