初中竞赛数学18乘法公式含答案Word文档格式.docx

初中竞赛数学18乘法公式含答案Word文档格式.docx

《初中竞赛数学18乘法公式含答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中竞赛数学18乘法公式含答案Word文档格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）4002提示:

（2000-a）2+（1998-a）2=[（2000-a）-（1998-a）]2+2（2000-a）·

（1998-a）

【例2】若x是不为0的有理数,已知M=（x2+2x+1）（x2-2x+1）,N=（x2+x+1）（x2-x+1）,则M与N的大小关系是（）.（“祖冲之”杯邀请赛试题）

A.M>

NB.M<

NC.M=ND.无法确定

思路点拨运用乘法公式,在化简M、N的基础上,作差比较它们的大小.

解:

选B

【例3】计算:

（1）6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1;

（天津市竞赛题）

（2）1.345×

0.345×

2.69-1.3453-1.345×

0.3452.（江苏省竞赛试题）

思路点拨若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于

（2）,由于数字之间有联系,可用字母表示数（称为换元）,将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.

（1）原式=（7-1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）+1=716

（2）设1.345=x,则原式=x（x-1）·

2x-x3-x（x-1）2=-x=-1.345

【例4】

（1）已知x、y满足x2+y2+=2x+y,求代数式的值.（“希望杯”邀请赛试题）

（2）整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值.（第14届“希望杯”邀请赛试题）

（3）同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.

甲商场:

第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

乙商场:

两次提价的百分率都是（a>

0,b>

0）;

丙商场:

第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,

则哪个商场提价最多?

说明理由.（2003年河北省竞赛题）

思路点拨对于

（1）、

（2）两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;

对于（3）把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.

（1）提示:

由已知得（x-1）2+（y-）2=0,得x=1,y=,原式=

（2）原不等式可化为（x-1）2+（y-1）2≤1,且x、y为整数,

（x-1）2≥0,（y-1）2≥0,

所以可能有的结果是或或,

解得或或或,x+y=1或2或3

（3）甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为

（1+a）（1+b）=1+a+b+ab;

（1+）·

（1+）=1+（a+b）+（）2;

（1+b）（1+a）=1+a+b+ab;

因（）2-ab>

0,所以（）2>

ab,

故乙商场两次提价后,价格最高.

【例5】已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明:

（1）b与c两数必为一奇一偶;

（2）2（a+b+1）是完全平方数.

思路点拨从a2+b2=c2的变形入手;

a2=c2-b2,运用质数、奇偶数性质证明.

（1）因（c+b）（c-b）=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+b>

c-b,

故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.

（2）c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,

于是2（a+b+1）=2a+2b+2=2a+a2-1+2=（a+1）2,为一完全平方数.

学力训练

一、基础夯实

1.观察下列各式:

（x-1）（x+1）=x2-1;

（x-1）（x2+x+1）=x3-1;

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1.

根据前面的规律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=_______.（2001年武汉市中考题）

2.已知a2+b2+4a-2b+5=0,则=_____.（2001年杭州市中考题）

3.计算:

（1）1.23452+0.76552+2.469×

0.7655=_______;

（2）19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;

（3）=___________.

4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式________.

（2003年太原市中考题）

5.已知a+=5,则==_____.（2003年菏泽市中考题）

6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a2-ab的值为（）.

A.-15B.-2C.-6D.6（2003年扬州市中考题）

7.乘积（1-）（1-）……（1-）（1-）等于（）.

A.B.C.D.

（2002年重庆市竞赛题）

8.若x-y=2,x2+y2=4,则x2002+y2002的值是（）.

A.4B.2002C.2D.4

9.若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是（）.

A.1B.3C.5D.7

10.如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>

b）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②）,通过计算两个图形（阴影部分）的面积,验证了一个等式,则这个等式是（）.

A.a2-b2=（a+b）（a-b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+bD.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2（2002年陕西省中考题）

11.

（1）设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?

如果是定值,求出它的值;

否则请说明理由.

（2）已知x2-2x=2,将下式先化简,再求值:

（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）.

（2003年上海市中考题）

12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.

13.观察:

1·

2·

3·

4+1=52

2·

4·

5+1=112

3·

5·

6+1=192

……

（1）请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;

（2）根据

（1）,计算2000·

2001·

2002·

2003+1的结果（用一个最简式子表示）.

（2001年黄冈市竞赛题）

二、能力拓展

14.你能很快算出19952吗?

为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5（n为自然数）,即求（10n+5）2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.

（1）通过计算,探索规律.

152=225可写成100×

1×

（1+1）+25;

252=625可写成100×

2×

（2+1）+25;

352=1225可写成100×

3×

（3+1）+25;

452=2025可写成100×

4×

（4+1）+25;



……

752=5625可成写__________;

852=7225可写成__________.

（2）从第

（1）题的结果,归纳,猜想得（10n+5）2=________.

（3）根据上面的归纳猜想,请算出19952=________.（福建省三明市中考题）

15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.（2001天津市选拨赛试题）

16.

（1）若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________.

（2）若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.

17.1,2,3,……,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是________.（全国初中数学联赛试题）

18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=（）.

A.4B.0C.2D.-2

19.方程x2-y2=1991,共有（）组整数解.

A.6B.7C.8D.9

20.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4（2b-a）,则x、y的大小关系是（）.

A.x≤yB.x≥yC.x<

yD.x>

y（2003年太原市竞赛题）

21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）.

A.0B.1C.2D.3（2002年全国初中数学竞赛题）

22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.（西安市竞赛题）

23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值.（2003年河北省竞赛题）

24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:

x1997+y1997=a1997+b1997.（北京市竞赛题）

三、综合创新

25.有10位乒乓球选手进行单循环赛（每两人间均赛一场）,用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;

用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;

用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:

x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.

26.

（1）请观察:

25=52

1225=352

112225=3352

11122225=33352

写出表示一般规律的等式,并加以证明.

（2）26=52+12,53=72+22,26×

53=1378,1378=372+32.

任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?

你能说出其中的道理吗?

答案

1.xn+1-12.-3.

（1）4;

（2）3897326;

（3）4.（a+b）2-4ab=（a-b）25.246.C

7.D提示;

逆用平方差公式,分解相约8.C提示:

由已知条件得xy=0

9.D提示:

x≠0,由条件得x+=13,x4+=（x2+）2-2=[（x+）2-2]2-210.A

11.

（1）定值为0提示:

由条件得x-3y=-2z,

原式=（x-3y）·

（x+3y）+4z2+4xz=-2z·

（x+3y）+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z（x-3y）=0

（2）原式=3x2-6