北师大版八年级数学下册第四章《线段的比》教案.docx

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北师大版八年级数学下册第四章《线段的比》教案

第四章相似图形

●课时安排

14课时

第一课时

●课题

§4.1.1线段的比

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.知道线段比的概念.

2.会计算两条线段的比.

（二）能力训练要求

会求两条线段的比.

（三）情感与价值观要求

通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.

●教学重点

会求两条线段的比.

●教学难点

会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.

●教学方法

自主探索法

●教具准备

投影片一张：

例题（记作§4.1.1A）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？

请举出例子来说明.

［生］课本P38中两张图片；

同一底片洗印出来的大小不同的照片；

两个大小不同的正方形，等等.

［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.

Ⅱ.新课讲解

1.两条线段的比的概念

［师］大家先回忆什么叫两个数的比？

怎样度量线段的长度？

怎样比较两线段的大小？

［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.

［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？

［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.

［师］对.比如：

线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？

［生］对.

［师］大家同意他的观点吗？

［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.

［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？

［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.

如果把表示成比值k，则=k或AB=k·CD.

注意：

在量线段时要选用同一个长度单位.

2.做一做

量出数学书的长和宽（精确到0.1cm）,并求出长和宽的比.

［生］长为21.1cm,宽为14.8cm,长和宽的比为21.1∶14.8=211∶148

［师］如把单位改成mm和m,比值还相同吗？

［生］改为mm作单位，则长为211mm，宽为148mm，比值为211∶148

改用m作单位，则长为0.211m，宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148

［师］从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？

［生］只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.

3.求两条线段的比时要注意的问题

［师］大家能说出几点？

试一试.

［生］

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.

4.例题

投影片（§4.1.1A）

在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm.

（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？

它们的实际长度之比呢？

解：

（1）根据题意，得

因此，新安大街的实际长度是

16×9000=144000（cm）,

144000cm=1440m;

光华大街的实际长度是

10×9000=90000（cm）

90000cm=900m.

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5

新安大街的实际长度与光华大街的实

际长度之比是144000∶90000=8∶5

由例2的结果可以发现：

Ⅲ.随堂练习

1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？

解：

根据题意，得

矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000

因此，矩形运动场的长是

2×8000=16000（cm）=160（m）

矩形运动场的宽是

1×8000=8000（cm）=80（m）

所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160m,宽为80m.

Ⅳ.课时小节

1.相似图形→两条线段的比.

2.两条线段的比

定义：

两条线段的长度之比

表示法：

线段a、b的长度分别为m、n,则a∶b=m∶n.

求法：

先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.

注意点：

（1）两线段的比值总是正数.

（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.

（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.

比例尺：

图上长度与实际长度的比.

Ⅴ.课后作业

习题4.1

1.解：

一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，这两条线段的比是5∶1.

2.解：

早上8点

旗杆的高与其影长的比为30∶40=3∶4

中午12点

旗杆的高与其影长的比为30∶10=3∶1

3.解：

等腰直角三角形ABC与等腰三角形DEF

腰的比为10∶12=5∶6

底边的比为

10∶8=5∶4

Ⅵ.活动与探究

为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.

解：

方案

（1）：

∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）

∴

解得：

a=

图4－1

方案

（2）：

由（*）得

∴x=,a=

方案（3）：

由（*）得

∴y=

且∴z=

由=a得a=

图4－2

方案（4）：

由（*）得

∴b=

n=1－m=a2－1

∵m+n=1∴1－+a2－1=1

∴a=（负值舍去）

●板书设计

§4.1.1线段的比

一、1.两条线段的比的概念

2.做一做

3.求两条线段的比时要注意的问题

4.例题（有关比例尺问题）

二、随堂练习

三、课时小结

四、课后作业

第二课时

●课题

§4.1.2线段的比

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.知道比例线段的概念.

2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.

（二）能力训练要求

1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力.

2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.

（三）情感与价值观要求

认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.

●教学重点

成比例线段的定义.

比例的基本性质及运用.

●教学难点

比例的基本性质及运用.

●教学方法

自学法

●教具准备

投影片两张：

第一张（记作§4.1.2A）

第二张（记作§4.1.2B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？

怎样表示比例？

说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？

［生］表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.

比例的基本性质为：

在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：

如果（b,d都不为0），那么ad=bc.

［师］上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段.

Ⅱ.新课讲解

1.成比例线段的定义

投影片（§4.1.2A）

你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？

如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

下图

（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；

（2）中的鱼是将

（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.

图4－4

（1）线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？

（2）线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？

它们相等吗？

（3）在图

（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？

［生］

（1）CD=2，HL=4，

OA=,

OF=

BE=,

GM=

（2）,

.

所以，.

（3）其他比相等的线段还有

.

［师］由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？

［生］四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段（proportionalsegments）.

2.比例的基本性质

两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d四个数满足,那么ad=bc吗？

反过来，如果ad=bc,那么吗？

与同伴交流.

［生］若,则有ad=bc.

因为根据等式的基本性质，两边同时乘以bd,得ad=bc,同理可知

若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.

3.线段的比和比例线段的区别和联系

［师］线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.

若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例.

4.例题

图4－5

（1）如图，已知=3,求和;

（2）如果=k（k为常数），那么成立吗？

为什么？

解：

（1）由=3,得

a=3b,c=3d.

因此，=4

=4

（2）成立.

因为有=k,得

a=bk,c=dk.

所以=k+1,

=k+1.

因此：

.

5.想一想

（1）如果,那么成立吗？

为什么？

（2）如果,那么成立吗？

为什么？

（3）如果,那么成立吗？

为什么.

（4）如果=…=（b+d+…+n≠0）,那么成立吗？

为什么.

解：

（1）如果,那么.

∵

∴－1

∴.

（2）如果,那么

设=k

∴a=bk,c=dk,e=fk

∴

（3）如果,那么

∵

∴+1

∴

由

（1）得

∴.

（4）如果=…=（b+d+…+n≠0）

那么

设=…==k

∴a=bk,c=dk,…,m=nk

∴.

Ⅲ.课堂练习

投影片（§4.1.2B）

1.已知=3,求和,=成立吗？

2.已知==2,求（b+d+f≠0）

解：

1.由=3,得

a=3b,c=3d.

所以==2,=2

因此.

2.由==2,得

a=2b,c=2d,e=2f

所以=2. 

Ⅳ.课时小结

1.熟记成比例线段的定义.

2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.

Ⅴ.课后作业

习题4.2

1.解：

因为a、b、c、d是成比例线段，

所以有

即=

解得：

d=4

所以线段d的长为4cm

2.解：

因为=2

所以a=2b

因此=3

3.解：

因为BC=BD=

CD=2

GH=GL=

HL=4

所以△BCD的周长为BC+BD+CD=2+2

△GHL的周长为GH+GL+HL=2（2+2）

因此△BCD的周长与△GHL的周长比为1∶2.

Ⅵ.活动与探究

1.已知：

==2（b+d+f≠0）

求：

（1）;

（2）;

（3）;（4）.

解：

∵