学年高中数学必修2北师大版 三视图 教案Word文档下载推荐.docx

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课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？

工程师如何制作工程设计图纸？

我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；

直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形．三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义．本节我们将在学习投影知识的基础上学习空间几何体的三视图．教师指出课题：

三视图．

思路2.“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图．在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？

教师点出课题：

推进新课　　　　　

提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？

②主视图、左视图和俯视图各是如何得到的？

③一般地，怎样排列三视图？

④主视图、左视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的主视图、左视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？

讨论结果：

①三视图包含主视图、左视图和俯视图．

②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的主视图（又称正视图）；

光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的左视图（又称侧视图）；

光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图．

③三视图的位置关系：

一般地，左视图在主视图的右边；

俯视图在主视图的下边．如图1所示．

图1

④投影规律：

1°

主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度．

2°

一个几何体的主视图和左视图高度一样，主视图和俯视图长度一样，左视图和俯视图宽度一样，即主、俯视图——长对正；

主、左视图——高平齐；

俯、左视图——宽相等．

画组合体的三视图时要注意的问题：

a．要确定好主视、左视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

b．判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体组成的，注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．

c．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．

d．要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即主、俯视图长对正；

主、左视图高平齐；

俯、左视图宽相等，前后对应．

由三视图还原为实物图时要注意的问题：

我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图．这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线（或补充后的轮廓线）还原成常见的几何体．还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线（特别要注意虚线）逐步作出实物图．

思路1

例1螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图2，画出它的三视图．

解：

该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．

它的三视图为图3.

图2　　　　图3

点评：

在绘制三视图时，应注意：

若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．例如图3中，表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是主视图中的线段AB、左视图中的线段CD以及俯视图中的圆.

变式训练

说出下列图4中两组三视图分别表示的几何体．

图4

答案：

图4

（1）是正六棱锥；

图4

（2）是两个相同的圆台组成的组合体.

例2试画出图5所示的矿泉水瓶的三视图．

活动：

引导学生认识这种容器的结构特征．矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器，这种容器是简单的组合体，其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱．

图5　　　　图6

三视图如图6所示．

本题主要考查简单组合体的三视图．对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.

画出图7所示的几何体的三视图．

图7图8

三视图如图8所示.

思路2

例1如图9甲所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图9乙中的__________．

图9

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．

分析：

在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图9乙

（1）；

在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图9乙

（2）；

在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图9乙（3）．

（1）

（2）（3）

本题主要考查平行投影和空间想象能力．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.

如图10

（1）所示，E，F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图10

（2）的________．

图10

四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；

在面DCC′D′上的投影是B；

同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是B.

BC

例2如图11所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（　　）

图11

①长方体　②圆锥　③三棱锥　④圆柱

A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④

由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体．又因主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；

由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体．又因主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；

由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体．又因主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥．

A

本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的主视图、左视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合主视图和左视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.

1．图12是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．

图12　　　　图13

由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体．结合左视图和主视图，可知该几何体上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体．

上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的形状如图13所示．

2.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）

图14

A.①②　　　　　B．①③　　　　　C．①④　　　　　D．②④

正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A，B，C.

D

虽然三视图的画法比较烦琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题．

1．下列各项不属于三视图的是（　　）

A．主视图B．左视图C．后视图D．俯视图

根据三视图的规定，后视图不属于三视图．

C

2．两条相交直线的平行投影是（　　）

A．两条相交直线B．一条直线

C．两条平行直线D．两条相交直线或一条直线

借助于长方体模型来判断，如图15所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射，则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.

图15　　　图16　　　图17

3．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如图16所示．甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（　　）

A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边

B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙

C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁

D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如图17所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边．

4．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（　　）

A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱

由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体．又因主视图与左视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥．

5．某几何体的三视图如图18所示，那么这个几何体是（　　）

图18

A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台

由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥．

B

6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图19所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（　　）

图19

A．8B．7C．6D．5

由主视图和左视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成．由俯视图可知，最下层有5个小正方体．由左视图可知，上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．

7．画出图20所示正四棱锥的三视图．