韦达定理在解题中的应用Word下载.docx

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主要参考书目：

初三数学教学、高中有关习题、数学史….

指导老师意见：

贵州师范大学

本科学生毕业论文（设计）

题目：

学院：

数学与计算机科学学院

专业：

数学与应用数学

年级：

2001级

学生姓名：

指导教师：

论文字数：

3250个

完成日期：

2005年3月20日

摘要：

韦达定理（及其逆定理）是中学数学中的一个重要定理；

它的应用贯穿在中学数学内容之中；

在解决方程、三角、几何等问题中有着广泛的应用；

本文主要介绍实数范围内韦达定理在一元二次方程中的应用。

关键词：

方程、应用

（MathsandComputersciencedepartment、GuizhouNormalUniversity、Guiyang、Guizhou、China、550001）

Abstract:

VedaTheoryisanimportanttheoryofMathsinMiddleschool;

AnditisusedinmanypartsofMiddleMaths,solvingproblemsofequation、triangle、geometryandsoon.ThisessayintroducesinrealtheuseofVedaTheoryinquadraticequation.

Keyword:

equation、application.

韦达定理（及其逆定理）是初中课程中的重要定理，不仅在初中，就是在高中解题时都经常会用到它。

鉴于它应用的灵活性，在解决有关方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用。

一些问题，可以运用韦达定理直接求解。

比如：

已知方程，求两根的和与积；

已知一元二次方程的一个根，求另一个根与未知系数等等。

另一些问题，初看起来没有方程的影子，也不是两数之和与两数之积问题，没有直接运用韦达定理的条件。

但是，经过适当的变形或转化以后，就显出了一元二次的影子，或者变成两数之和与两数之积的问题了，于是可以运用韦达定理（及其逆定理）来求解。

下面介绍韦达定理及其应用：

一．韦达定理及其逆定理

定理：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a不为零）的两个根为x1、x2，

则x1+x2=，x1x2=.

这个定理是由法国数学家韦达研究和推广的，所以叫韦达定理。

推导：

我们可以通过

求根公式求出x1=，x2=（△=b2-4ac），那么x1+x2=，x1x2=.

注：

在实数范围内应用韦达定理，必须注意0这个前提条件，而应用判别式的前提是方程必须是一元二次方程。

即二次项系数。

因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含0和两个条件。

但该定理不仅在实数范围内成立，可以证明，它在复数范围内仍成立。

逆定理：

如果x1+x2=，x1x2=，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a不为零）的两个根是x1、x2。

证明：

ax2+bx+c=0（a0）

∴x1，x2为ax2+bx+c=0（a0）的两个根。

韦达定理还可以推广到一元高次方程的情况，即如果一元n次方程

在复数集中的根是，那么

二．应用

1．关于一元二次方程的简单应用

（1）检验方程的根

即不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系可以检验两个数是不是某个一元二次方程的两根；

例1：

假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根，证明x13，x23是方程y2-（a3+d3+3adc+3bcd）y+（ad-bc）3=0的根。

由已知条件得x1+x2=a+d，x1x2=ad-bc；

∴x13+x23=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）=a3+d3+3adc+3bcd,

x13x23=（x1x2）3=（ad-bc）3。

由韦达定理逆定理可知，

x13，x23是方程y2-（a3+d3+3adc+3bcd）y+（ad-bc）3=0的根。

（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；

（3）不解方程，可以利用一元二次根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值。

|x1-x2|、等等。

（4）已知两根，求作一元二次方程；

（5）已知两数的和与积，求这两个数；

（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；

（7）证明方程系数之间的特殊关系；

（8）解决其它问题。

如讨论根的范围、判定三角形的形状等；

（9）根的符号的讨论。

、

利用一元二次方程根与系数的关系还可以进一步讨论根的符号。

设一元二次方程的两根为x1、x2，1）若△≥0、且x1x2＞0,则两根同号；

若△≥0、且x1x2＞0，x1+x2＞0则两根同为正数

若△≥0、且x1x2＞0，x1+x2＜0则两根同为负数

2）若△＞0、且x1x2＜0,则两根异号；

若△＞0、且x1x2＜0，x1+x2＞0时，则两根异号且正根的绝对值较大

若△＞0、且x1x2＜0，x1+x2＜0时，则两根异号且负根的绝对值较大

2．解方程组

例2：

解方程组

（1）

解：

把方程组改写成

a2+b2=1-c2

（2）

由

（1）2-

（2）得

据韦达定理的逆定理知a，b为一元二次方程的两实根，,

解决此类方程组问题，关键是对此类方程组进行适当变形，使之转化为两数之和与两数之积的形式，便可利用韦达定理的逆定理来求解。

3．解三角问题

例3：

若,求证：

（1）

由题设条件知

（2）

由

（1）

（2）得将视为方程的两根，而判别式

，∴两根相等。

故

在解题中怎样判断方程的两根是非常关键的，因为它们不是单个的x1、x2的形式，而各是一个表达式，这时，就要将各自的表达式看成一个整体来求解。

4．解几何问题

（1）.关于圆锥曲线的问题

利用韦达定理解有关圆锥曲线，特别是在求有关弦长与弦的中点时非常简便；

它利用了设而不求的方法进行求解，大大地简化了计算步骤，同时解题的思路比较清晰。

如：

直线与曲线（椭圆、双曲线、抛物线）相交，求弦长、弦的中点？

1）弦长公式

设直线与曲线相交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，直线P1P2的斜率为k，则

=

同理可得

故弦长公式或

其中，可由韦达定理求得。

2）弦的中点公式

直线与曲线相交时的弦的中点或弦中点的轨迹方程可以用韦达定理解决，如设直线m：

y=kx+b与曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为M（x0，y0），则：

。

看下面的例子，比较一下解题的过程

例4：

求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程？

解法1：

过2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点的圆系方程为

.整理得.要使圆的面积最小，即要半径r最小，故有r=====

∴当=，半径r最小，这时圆的方程是.

2x+y+4=0

解法2：

由消y得5x2+26x+33=0,

x2+y2+2x-4y+1=0

根据韦达定理，AB的中点P的坐标为

==.

∴圆的方程是

例5．已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点（如下图1），O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m的值。

解法1.已知圆x2+y2+x-6y+m=0的圆心是，过点C作x+2y-3=0的垂线为2x-y+4=0.x+2y-3=0

由解得P、Q中点坐标M（-1，2）

2x-y+4=0

∵OP⊥OQ，在Rt△OPQ，斜边PQ上的中线.

∴C的半径。

亦为，

则有，∴m=3

x+2y-3=0

解法2.由消y得5x2+10x-27+4m=0,

x2+y2+x-6y+m=0

根据韦达定理，,设P（x1，x1）、Q（x2，y2）,

.

.∵OP⊥OQ，∴,即，也即

x1x2+y1y2=0,得，解得m=3.

利用韦达定理解决有关直线与曲线相交的问题时，将直线方程与曲线方程所构成的方程组中消去一元，转化为一元二次方程的形式，根据题意便可利用韦达定理求解有关x1、x2或y1、y2的代数表达式。

例6．从圆O外一点P引圆的切线PA、PB和割线PCD，若AB、CD交于T点（如图2）。

.

设OP=a，以P为极点，OP延长线为极轴建立坐标系，则圆的方程为：

，展开整理得：

（1）设,则是方程

（1）的两实根。

（2）

设AB交OP于G，在直角△AOP中，AG⊥OP.∴|PA|2=a2-R2,且

∴又在直角△TGP中，

（2）.解平面几何问题

例7：

设P是正△ABC外接圆的BC弧上一点（如图3），求证：

PA=PB+PC；

AB2=PA2-PB×

PC

易知，在△ABP中，.

∴

（1）

在△APC中，利用AC=AB，

（2）

PB+PC=PA

由

（1）

（2）

可知PB、PC是方和x2-PAx+（PA2-AB2）=0的两根。

由韦达定理得

PA=PB+PC；

例8．从点O出发引三条射线OX、OY、OZ，且，一直线与三条射线相交于A、B、C（如图4），求证：

证明：

设在△AOB中，由正弦定理得：

（1），由余弦定理得，即

（2）

把

（1）代入

（2）得（3）

同理，由△BOC并利用得（4）

由（3）（4）可知是方程的两个根，于是由韦达定理，得，即

例7、例8两题对求证的结果进行了分析，使条件中的某些关系转化为一元二次方程，巧妙地运用韦达定理来求解。

例9．已知方程的三个根分别是△ABC三个内角的正弦，求。

解：

∵方程各项系数和

∴1是方程的一个根。

由综合除法得

不妨设sinA=1，。

∴sinC=sinB由题意得：

sinB、sinC是方程两根。

∴

∵（sinB+cosB）2=1+2sinBcosB,

∴∴方程两根为：

检验1是方程的根，这一步大胆试探，为后面运用韦达定理创造了条件，是本题轻易解决的关键。

5．解其它问题

例10．已知实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=1.求证：

a、b、c中必有一数大于。

由已知a、b、c中必有一数为正，两数为负。

令a为正，则,∴根据韦达定理，b、c为方程的两根，b、c为方程的实根，因此：

.故a、b、c中必有一数大于.

例11．直上抛物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，试求该点离地面的高度和抛出时的初速度。

设该点离地面的高度是h，初速度是v0，当物体第一次经过该点时应有：

（1）当物体经最高点后返回通过该点时应有：

（2）由

（1）

（2）式联立得：

将此移项整理得：

应用平方差公式上式展开得：

，将v0代入

（1）得：

竖直上抛运动物体满足方程：

，将该式改成t的一元二次方程