习题7解 2Word文档格式.docx

习题7解 2Word文档格式.docx

《习题7解 2Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题7解 2Word文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

这就是说，虽然黑点代表的原子的化学成分相同，但在晶体中的地位不同，故区分为两类粒子，只要取出一类粒子的位置作为结点的位置就可以了，所以布喇菲格子由下图所示：

7.3设晶格常数（立方体晶胞边长）为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？

距离多大？

简立方分别为6个和12个，距离为a和a；

面心立方分别为12个和6个，距离为a和a；

体心立方分别为8个和6个，距离为a和a。

7.4具有笛卡尔坐标（n1,n2,n3）的所有点形成什么样的布喇菲点阵？

如果

（a）ni全为奇数或者ni全为偶数的点的集合；

（b）满足为偶数的点的集合。

（a）原点的笛卡尔坐标（0,0,0），以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标（n1,n2,n3）全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。

同理，以（1,1,1）为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标（n1,n2,n3）全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。

两套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。

（b）为偶数则有两种情况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个奇数。

前者构成面心立方（边长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）,（2,1,1）,（1,2,1）,（1,1,2）。

所以为偶数的坐标点的集合构成面心立方。

7.5试证：

体心立方格子的倒格子为面心立方格子。

证：

体心立方正格子基矢，，

因为

故原胞体积

倒格子基矢

类似可得，

与面心立方基矢，，比较可知，上面倒格子是边长等于的面心立方。

7.6将原子想象成刚球，刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否紧密的量度。

试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。

（1）简立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有1个原子，故

（2）体心立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有2个原子，故

（3）面心立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有4个原子，故

（4）金刚石最近邻原子距离，一个晶胞有8个原子，故

7.7设原胞基矢、、相互正交，求倒格子基矢。

什么情况下，晶面（hkl）与晶轴[hkl]正交？

因为正交，可设、、，且原胞体积。

所以

，，

晶轴[hkl]沿，而晶面（hkl）的法线方向为。

如果晶面（hkl）与晶轴[hkl]正交，则与平行，即有。

而

所以晶面（hkl）与晶轴[hkl]正交的充要条件是

或由知，，得

7.8找出四方体（a=b≠c）和长方体（a≠b≠c）的全部对称操作。

（1）设两底面为正方形，侧面为长方形。

则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。

四条侧棱中，两组对棱中心连线各构成一个2次轴。

考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作

3+2×

1+2×

1+1=8

由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。

（2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操作数为

2×

（3×

1+1）=8

7.9试求金刚石结构中共价键之间的夹角。

金刚石结构没见教材图7.1-11，碳原子B1原子周围4个碳原子是A1、A2、A3、A4，各点坐标：

，，，，。

不难看出：

，

故，而，所以两者夹角为

7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波？

答：

格波描写晶体中各原子的集体振动，由于原子的平衡位置构成周期性排列，振动量是原子的位移，所以格波描写的振动点是空间分列点，不同波矢的波动对这些分列点的振动描述可以完全相同。

例如，对于一维简单格子，原子振动可写成，色散关系为。

若，则对应的频率，故位移，即各原子的振动完全相同。

7.11周期性边界条件的物理图像是什么？

据此对晶格振动可以得出哪些结论？

可以用不同的物理图像解释周期性边界条件：

（1）将一维原子链看成一闭合圆环，由于原子很多，故圆环半径很大。

原子振动范围比起圆环周长来是很小的，故仍可看作直线振动。

而由于圆环的闭合性，第1个粒子与第N+1个粒子实际为同一粒子，故令。

（2）另一种看法是将许许多多相同的晶体首尾“相连”，使晶格周期性在边界仍保持成立，并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况相同。

周期性边界条件直接导致格波的波矢只能取一些分列值，波矢取值的数目与晶体原胞数相同。

周期性边界条件得出的结论只适用体内粒子，边界处实际粒子的势场缺少周期性，故结论不适用。

7.12

（1）按周期性边界条件，一维简单格子的格波波矢q应取什么值？

（2）证明一维简单格子满足，N为原胞数，q及q’为波矢的可能取值。

（1）答：

在周期性边界条件下，对于一维有限的简单格子，第一个原胞的原子应和第N＋1个原胞的原子振动情况相同，即

而，。

因此，所以

qNa=2πl（l为整数）

即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。

因为q介于,所以l介于，即。

由此可知，l只能取N个不同的值，因而q也只能取N个不同的值。

这里N是原胞的数目。

（2）证：

当时，，上式显然成立。

当时，上式左边构成等比数列求和，公比，利用等比数列求和公式

而

所以由上面两式可知，（）

综合和两种情况，说明命题是成立的。

7.13在讨论三维自由电子的能态密度时，如果晶体为长方体，边长分别为、、，试推导其能态密度的表达式。

解：

对于长方体，三维自由电子的波函数和能量为

其中，，，，、、都是整数。

、、的取值都是等间隔取值，间隔分别为，，。

所以，在、、构成的空波矢间中代表量子态的点子分布是均匀的。

一个点子占有的“体积”是，这里，为晶体的体积。

但能量只与波矢大小有关，，能量在0~E范围在k空间占有的“体积”

所以能量在0~E范围内的量子态数为

对上式微分就得到能量在E~E+ΔE范围内的量子态数

考虑到电子自旋具有向上和向下两种状态，应乘以2，故能态密度为

7.14准自由电子近似零级近似下的波函数为，其中，l为整数。

证明：

当时，。

，故

（1）

而积分

比较

（1）式，，

即为的整数倍，故。

所以，只要，即（为任意整数），则

（1）式右边每项积分都为0，故

7.15已知一维晶体中某个能带可写成：

，其中，。

求：

（1）能量的最大值和最小值；

（2）能带底部和顶部的电子有效质量。

（1）令得，即。

由

（2）式知，

，而，

所以处为极大值，

而处为极小值，

（2）为能带底部，

为能带顶部，

7.16用能带理论解释金属、半导体、绝缘体在导电性能方面的差异。

按照能带理论，满带电子不能导电（全部电子对电流的总贡献等于零）而不满带电子可以导电。

金属中，除去满带外，还有部分地被填充的能带，后者可以起导电作用。

在半导体或绝缘体中，只有满带与空带，但是半导体的禁带宽度较小，一般在2个电子伏特以下，而绝缘体的禁带宽度较大。

在极低温度下，两者导电性能都很差。

当温度逐渐升高以后，总会有少数电子，由于热激发，从满带跳到邻近的空带中去；

使原来的空带也有了少数电子，成为导带；

而原来的满带，现在缺了少数电子，成为近满带，也具有导电性。

在半导体中，由于禁带窄，电子容易从满带激发到导带中去；

而在绝缘体中，禁带太宽，激发的电子数目极少，以至没有可察觉的导电性。

习题8

8.1纯Ge、Si中掺入Ⅲ族或Ⅴ族元素后，为什么使半导体导电性能有很大的改变？

杂质半导体（p型或n型）应用很广，但为什么我们很强调对半导体材料的提纯？

纯Ge、Si中的载流子浓度（即本征载流子浓度）很低，Ⅲ族或Ⅴ族元素是有效的受主或施主杂质，即容易电离而提供载流子。

即使掺入微量的杂质（例如百万分之一），提供的载流子浓度也远高于，所以使半导体导电性能有很大的改变。

不同的杂质产生的影响很不相同，对半导体掺杂的目的是需要对半导体的性能进行控制。

只有在特定的区域掺入特定的杂质才能取得所需的效果，如果半导体材料不纯，就很难控制半导体的性能，也就不能制备所需的器件。

8.2当E-EF为1.5kBT、4kBT、10kBT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

解:

费米分布函数

玻耳兹曼分布函数

E-EF为1.5kBT时,=0.182,=0.2231；

E-EF为4kBT时,=0.01799,=0.01832；

E-EF为1.5kBT时,=0.0000453979,=0.0000453999。

（注：

保留的有效数字的位数只要能显示两种分布的差别即可）

8.3为费米分布函数，而费米能级又与温度有关，试证

将写成复合函数，即，而，则

；

所以

而，，所以

8.4解释本征半导体、n型半导体、p型半导体，它们的主要特点是什么？

本征半导体：

无杂质、无缺陷的理想半导体，满足n=p，电导率很低，费米能级近似在禁带中央；

n型半导体：

掺施主杂质的半导体，电子是多数载流子，即n>

p，费米能级偏向导带；

p型半导体：

掺受主杂质的半导体，空穴是多数载流子，即p>

n，费米能级偏向价带。

8.5有二块n型硅材料，在某一温度T时，第一块与第二块的电子浓度之比为（自然对数的底）。

已知第一块材料的费米能级在导带底以下，求第二块材料中费米能级的位置，并求出两块材料空穴密度之比。

（1）由公式，得，

解出费米能级

已知，，故

（2）由公式，得

8.6室温下，硅的本征载流子密度为，费米能级为，现在硅中掺入密度为的磷，试求：

（1）电子浓度和空穴浓度；

（2）费米能级的位置。

（1）磷为施主杂质，远大于，故多子浓度约等于掺杂浓度

（2）

8.7室温下，本征锗的电阻率为47Ω·

cm，试求本征载流子浓度。

若掺入锑杂质，使每106个锗原子中有一个杂质原子，计算室温下电子浓度和空穴浓度。

设杂质全部电离。

锗原子的浓度为4.4×

1022/cm3,试求该掺杂锗材料的电阻率。

设=3600cm2/V·

s，=1700cm2/V·

s，且认为不随掺杂而变化。

（1）因，

故

（2）锑为施主，

室温下杂质基本上都电离，多子浓度

相应地

电阻率

8.8若ND=5×

1015cm-3,NA=1×

1017cm-3，取ni=2.5×

1013cm-3，kBT=0.026eV，求室温下Ge突变p-n结的VD。

8.9有锗p-n结，设p区的掺杂浓度为NA，n区掺杂浓度为ND，已知ND=102NA，而NA相当于108个锗原子中有一个受主原子，计算室温下接触电位电位差VD。

若NA浓度保持不变，而ND增加102倍，试求接触电位差的改变。