机械工程测试技术习题答案Word文件下载.docx
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222?
x12x?
2 2-4．求正弦信号x?
Asin（?
）的概率密度函数p（x）。
xdt1?
?
Adx?
1Ax1?
（）2A?
1解：
?
arcsin?
x22 代入概率密度函数公式得：
12dt1?
2?
p（x）?
limlim?
0?
0T?
TA2?
x2?
dxT 21?
22?
x 2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱 x ?
-T 解在x（t）的一个周期中可表示为 t -T1 T1 T ?
1x（t）?
0t?
T1T1?
T2 该信号基本周期为T，基频?
0=2?
/T，对信号进行傅里叶复指数展开。
于x（t）关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。
计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：
2T1T1c0?
a0?
1 T?
T1T当n?
0时， cn?
最后可得 1T1?
jn?
0t1?
0tedt?
eT?
T1jn?
0TT1?
T1 ?
ejn?
e?
cn?
n?
2j?
2cn?
其幅值谱为：
注意上式中的括号中的项即sin（n?
0T1）的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为 2sin（n?
0T1）2?
sinc（n?
0T1），n?
0 n?
0TT2T1sinc（n?
oT1），相位谱为：
0,?
频谱图如下：
T Cn2T1/T ?
/T1?
00 Cn 2T1/T ?
/T1 ?
0?
n?
?
0?
2-6．设cn为周期信号x（t）的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。
即：
若有 FSx?
cn FS 则 x?
t0?
e’cn?
j?
0t0cn 证明：
若x（t）发生时移t0，即信号x（t-t0），则其对应的傅立叶系数为 1T?
Tx?
0tdt 令?
t0，代入上式可得 ’cn?
1T?
0（?
t0）d?
d?
1T?
0t0cn?
0t0因此有 ?
FSx?
j（2?
/T）t0cn 同理可证 FSx?
/T）t0cn 证毕！
2-7．求周期性方波的的幅值谱密度 解：
周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 Cn?
2T11T?
0T1）?
T1TT则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有 X（?
）?
2T1sinc（n?
0T1）?
（?
0）?
此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频?
0以及所有谐频处，其脉冲强度为4?
T1/T0被sinc（t）的函数所加权。
与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。
2-8．求符号函数的频谱。
1?
解：
符号函数为 x（t）?
0t?
0可将符号函数看为下列指数函数当a?
0时的极限情况 ?
eatt?
0解 x（t）?
sgn（t）?
at t?
j2?
ft?
at?
X?
f?
edt?
lim?
ftdt?
a?
11?
0a?
fa?
1j?
f2-9．求单位阶跃函数的频谱：
解：
单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即 t?
（t）?
1/2t?
0 ?
2所以：
（f）?
2-10．求指数衰减振荡信号x1?
atsin?
0t的频谱。
1?
tesin?
edt0?
02?
（a?
）t解：
?
esin?
0td?
jsin?
（e?
ej?
0t）2X（?
0）tX（?
（）?
0）tdt2?
20?
11?
2?
0（a?
0122?
）2?
0FTx?
2-11．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：
若则 FTx?
f0t?
f0?
证明：
因为又因为 F[e?
i2?
f0t]?
（f?
f0） FTx?
*F[e?
f0t] FTx?
*?
f0）?
证毕！
2-12．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 FT即：
若 x?
则 式中x*（t）为x（t）的共轭。
FTx*?
X*?
证明：
x?
X（f）ej2?
ftdf *?
x（t）e?
于 ?
x*（t）ej2?
上式两端用-f替代f得 X*?
x*（t）e?
ftdt 上式右端即为x*（t）的傅里叶变换，证毕！
特别地，当x（t）为实信号时，代入x*（t）=x（t），可得X（f）共轭对称，即 X?
2-13．设X（f）为周期信号x（t）的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：
若 x?
FT则 X?
证明：
FT于 x（t）?
以-t替换t得 ?
ftdfX（f）e?
ftdf x?
t与f互换即可得 x?
证毕。
特殊情况,当x?
为偶函数时， ?
X（t）e?
ftdt 即 X?
FTX?
2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g（t）的傅里叶变换G（f），g（t）定义如下：
g?
且已知 ?
at221?
tx（t）?
eFT?
X（f）?
2aa?
22 解：
当a=2?
，不难看出g（t）与X（f）非常相似。
代入a=2?
，根据傅里叶变逆换有 e?
tej2?
ftdf?
12?
2j2?
fte?
f2df ?
等式两端同时乘以2?
，并用-t替代变量t得 ?
ftedt ?
f2?
交换变量t和f得 2?
e上式正是g（t）的傅立叶变换式，所以 ?
g（t）?
2-15．所示信号的频谱 2?
FT?
G（f）?
e21?
tf x（t）?
1x1（t?
x2（t?
）2式中x1（t）,x2（t）是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。
解：
根据前面例2-15求得x1（t）,x2（t）的频谱分别为 X1（f）?
fsin3?
f和X2（f）?
f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：
X（f）?
e x（t）?
j5?
2sin?
sin3?
tx2（t）x1（t）tt 图2-31 2-16．求信号x（t）的傅里叶变换 x（t）?
e解：
例2-16已知 e?
ata?
0 1 a?
atat注意到x（t）为实偶函数，t>
0时x（t）?
eu（t），t x（t）?
atu（t）?
eatu（?
t），根据线性叠加特性 FTu（t）?
Fe?
Featu（?
t） FT又根据时间比例特性有x?
，所以 1FTeatu（?
t）?
a?
f最后得 ?
112a?
2 a?
2在实际应用中，一般a为?
0的实数 1?
FT则x?
2-17．已知信号x（t）试求信号x（），x（2t）的傅里叶变换 ?
1,x（t）?
0,解：
例可知x（t）的傅里叶变换为 t?
T1t?
T1X（f）?
2T1sinc2?
fT1 根据傅里叶变换的比例特性可得 如图2-32所示,图可看出，时间尺度展宽（a Fx（）?
F?
x（2t）?
1f?
2T1sinc?
T1?
4T1sinc?
4?
fT1?
T1sinc?
这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;
反之,时间 尺度压缩（a>
）会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。
2Tx（t/2）1a=/2T1/2T-Tx（t/2）Tta=/Tf1T1/T-T/2T/2x（t/2）t1f1a=/TT/212/T-T/4T/4tf 题图2-17时间尺度展缩特性示意图 2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数 解：
因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：
3T?
T4?
4Rxy（?
3T?
044?
T44?
cos?
t03TT?
3?
cos?
2222?
4sin?
2-19．求信号x（t）?
atu（t）的自相关函数。
定义 Rx（?
x（t）x（t?
）dt?
atu（t）e?
a（t?
）u（t?
2atu（t）u（t?
）dt其中积分的被积函数的非零区间为t?
0与t?
0的交集，即t?
max（因此，当?
00,?
）。
时，上式为 Rx（?
e当?
0时，则有 ?
0e?
2atdt?
（1?
2at?
ate）0?
e?
2a2aRx（?
e综合有 ?
12a?
1a?
e）?
（0?
2a?
2a2aRx（
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