最新平面向量的概念及线性运算讲义Word文档格式.docx

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______________的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度____且方向____的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝________.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝__________.

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

______法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝________；

（2）当λ>

0时，λa的方向与a的方向____；

当λ<

当λ＝0时，λa＝____

λ（μa）＝____；

（λ＋μ）a＝_____；

λ（a＋b）＝______

3.共线向量定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

[难点正本　疑点清源]

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．

2．向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

1．（课本改编题）化简－＋－的结果为________．

2．在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________.

3．下列命题：

①平行向量一定相等；

②不相等的向量一定不平行；

③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是________．

4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．

5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么（　　）

　A.＝B.＝2

C.＝3D．2＝

题型一　平面向量的概念辨析

例1　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

探究提高　

（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．

（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（3）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．

（5）非零向量a与的关系是：

是a方向上的单位向量．

判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．

（1）若向量a与b同向，且|a|>

|b|，则a>

b；

（2）若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

（3）若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；

（4）由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

（5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

（6）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；

（7）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

（8）任一向量与它的相反向量不相等．

题型二　向量的线性运算

例2　如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，

G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，

b表示，.

探究提高　

（1）解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果．

　如图，在△ABC中，E、F分别为AC、AB的

中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，

b表示.

题型三　平面向量的共线问题

例3　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

探究提高　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，

在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得

NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．

11.用方程思想解决平面向量的线

性运算问题

试题：

（13分）如图所示，在△ABO中，＝，＝，

AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

审题视角　

（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．

（2）既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.

（3）利用共线定理建立方程，用方程的思想求解．

规范解答

解　设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝－＝－＝－a＋b.[3分]

又∵A、M、D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t.[5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴，消去t得，m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①[7分]

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C、M、B三点共线，∴与共线．[10分]

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴，消去t1得，4m＋n＝1.②[12分]

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[13分]

批阅笔记　

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．

（2）学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征．（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

方法与技巧

1．将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；

若∥，则A、B、C三点共线．

失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；

二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

课时规范训练

（时间：

60分钟）

A组　专项基础训练题组

一、选择题

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0（λ为实数），则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则（　　）

A.＋＝0B.＋＝0

C.＋＝0D.＋＋＝0

3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b.如果c∥d，那么（　　）

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

二、填空题

4．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．

5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋

，则实数m的值为________．

三、解答题

7.如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，

用a、b表示、、.

8．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，（a＋b）三向量的终点在同一条直线上？

B组　专项能力提升题组

1．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在（　　）

A．△ABC的内部B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上

2．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于（　　）

A．2B．3C．4D．5

3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

＝＋

λ，λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

4．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________（将正确的序号填在横线上）．

①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；

②存在相异实数λ、μ，使λ·

a＋μ·

b＝0；

③x·

a＋y·

b＝0（实数x，y满足x＋y＝0）；

④若四边形ABCD是梯形，则与共线．

5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交

直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则

m＋n的值为______．

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，

则λ＝________.

7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．

8．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．

（1）求＋＋；

（2）若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：

＋＝3.

答案

要点梳理

1．大小　方向　长度　模　零　0　1个单位　相同　相反　方向相同或相反　平行　相等　相同　相等　相反

2．三角形　平行四边形　

（1）b＋a　

（2）a＋（b＋c）　三角形　

（1）|λ||a|　

（2）相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb

基础自测

1.　2.b－a　3.①②③　4.－2　5.A

题型分类·

深度剖析

2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。

消费品市场销售平稳增长。

全年完成社会消费品零售总额2220.64