经典编排高考数学专题高考数学专题汇编理科数学解析版10圆锥曲线Word文件下载.docx
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【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.
4.【高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。
若点到该抛物线焦点的距离为，则（）
A、B、C、D、
【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为，，解得，所以.
5.【高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，，，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.
6.【高考真题湖南理5】已知双曲线C：
-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
【答案】A
【解析】设双曲线C：
-=1的半焦距为，则.
又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，，即.
又，，C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.
7.【高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.B.C.3D.5
【答案】Ａ.
【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选Ａ.
8.【高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）
【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
【解析】设及；
则点到准线的距离为，
得：
又，
的面积为。
9.【高考真题全国卷理3】椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为
A+=1B+=1C+=1D+=1
【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.
10.【高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：
x²
-y²
=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=
（A）（B）（C）（D）
【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.
11.【高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。
若直线l的倾斜角为60º
.则△OAF的面积为
【答案】
【解析】由可求得焦点坐标F（1,0），因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此.
二、填空题
12.【高考真题湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，.若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为.则
（Ⅰ）双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值.
【解析】
（Ⅰ）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出
（Ⅱ）设,很显然知道,因此.在中求得故；
菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.
13.【高考真题四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.
【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；
将带入解得；
所以.
14.【高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
【答案】.
【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.
15.【高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.
16.【高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。
【答案】4
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.
由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。
曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
17.【高考真题江西理13】椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。
若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。
【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.
18.【高考江苏8】
（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲.
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴，即，解得。
三、解答题
19.【高考江苏19】
（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，.已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P.
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：
是定值.
【答案】解：
（1）由题设知，，由点在椭圆上，得
，∴。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为。
（2）由
（1）得，，又∵∥，
∴设、的方程分别为，。
∴。
同理，。
（i）由得，。
解得=2。
∵注意到，∴。
∴直线的斜率为。
（ii）证明：
∵∥，∴，即。
由点在椭圆上知，，∴。
同理。
。
∴
由得，，，
∴是定值。
20.【高考真题浙江理21】
（本小题满分15分）如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求ABP的面积取最大时直线l的方程.
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
（Ⅰ）由题：
；
（1）
左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：
.
（2）
由
（1）
（2）可解得：
.
∴所求椭圆C的方程为：
（Ⅱ）易得直线OP的方程：
y＝x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）.其中y0＝x0.
∵A，B在椭圆上，
∴.
设直线AB的方程为l：
y＝﹣（m≠0），
代入椭圆：
显然.
∴﹣＜m＜且m≠0.
由上又有：
＝m，＝.
∴|AB|＝||＝＝.
∵点P（2，1）到直线l的距离表示为：
∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，
当|m＋2|＝，即m＝﹣3或m＝0（舍去）时，（SABP）max＝.
此时直线l的方程y＝﹣.
21.【高考真题辽宁理20】
（本小题满分12分）
如图，椭圆：
，a，b为常数），动圆，。
点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。
（Ⅰ）求直线与直线交点M的轨迹方程;
（Ⅱ）设动圆与相交于四点，其中，
若矩形与矩形的面积相等，证明：
为定值。
【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。
本题考查综合性较强，运算量较大。
在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。
属于中档题，难度适中。
22.【高考真题湖北理】
（本小题满分13分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？
若存在，求的值；
若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）如图1，设，，则由，
可得，，所以，.①
因为点在单位圆上运动，所以.②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为，所以
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为，；
两焦点坐标分别为，.
（Ⅱ）解法1：
如图2、3，，设，，则，，
直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得
依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得
，即.
因为点H在直线QN上，所以.
于是，.
而等价于，
即，又，得，
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.
解法2：
如图2、3，，设
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