高考数学大一轮复习 29函数模型及其应用学案 理 苏教版Word文档下载推荐.docx

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y＝axn＋b（a、b、n为常数，a≠0，n≠0）；

（7）分式函数模型：

y＝x＋（k>

0）；

（8）分段函数模型．

2．解应用题的方法和步骤

用框图表示如下：

自我检测

1．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示，下列四种说法：

①前三年中产量增长速度越来越快；

②前三年中产量增长的速度越来越慢；

③第三年后，这种产品停止生产；

④第三年后，年产量保持不变．

其中说法正确的是________．（填上正确的序号）

2．（xx·

广州模拟）计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．

3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．

4．（xx·

浙江）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表

高峰月用电量

（单位：

千瓦时）

高峰电价

元/千瓦时）

50及以下的部分

0.568

超过50至200的部分

0.598

超过200的部分

0.668

低谷时间段用电价格表

低谷月用电量

低谷电价

0.288

0.318

0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）．

5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？

（精确到1小时）

探究点一　一次函数、二次函数模型

例1　某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

变式迁移1　（xx·

江苏启东中学模拟）即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；

如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？

并求出每天最多的营运人数．（注：

营运人数指火车运送的人数）．

探究点二　分段函数模型

例2　据气象中心观察和预测：

发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．

（1）当t＝4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？

如果不会，请说明理由．

变式迁移2　某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

探究点三　指数函数模型

例3　诺贝尔奖发放方式为：

每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：

1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f

（1），2000年记为f

（2），…，依次类推）．

（1）用f

（1）表示f

（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；

（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“xx年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．

（参考数据：

1.03129＝1.32）

变式迁移3　现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？

lg3＝0.477，lg2＝0.301）

1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学结论还原为实际问题的意义．

2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：

（1）利用函数模型的单调性比较数的大小；

（2）比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；

（3）函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（xx·

南京模拟）拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f（m）＝1.06×

（0.5×

[m]＋1）（单位：

元），其中m>

0，[m]表示不大于m的最大整数（如[3.72]）＝3，[4]＝4），当m∈[0.5,3.1]时，函数f（m）的值域是_______________．

2．国家规定个人稿费纳税办法是：

不超过800元的不纳税；

超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；

超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为________元．

3．（xx·

淮安模拟）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,xx年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,xx年的垃圾量为__________t.

5．（xx·

金华十校3月联考）有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为________（围墙的厚度不计）．

6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：

型号

小包装

大包装

重量

100克

300克

包装费

0.5元

0.7元

销售价格

3.00元

8.4元

则下列说法中正确的是________（填序号）

①买小包装实惠；

②买大包装实惠；

③卖3小包比卖1大包盈利多；

④卖1大包比卖3小包盈利多．

7．（xx·

苏州调研）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；

②3点到4点不进水只出水；

③4点到6点不进水不出水．

则一定正确的论断序号是________．

8．（xx·

常州模拟）为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文密文密文明文

已知加密为y＝ax－2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

二、解答题（共42分）

9．（14分）（xx·

湖南师大附中仿真）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：

m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当m－n≥0时，称不亏损企业；

当m－n<

0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．

（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？

（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

10．（14分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：

元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）

11．（14分）某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：

①要方便结账，床价应为1元的整数倍；

②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）．

（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域；

（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？

答案自我检测

1．②③

2．300

解析　由题意知，9年后价格为8100×

（）3＝300（元）．

3．45.6

解析　依题意，可设甲销售x辆，

则乙销售（15－x）辆，

∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）

＝－0.15x2＋3.06x＋30（x≥0）．

∴当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．

4．148.4

解析　高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×

0.568元，后150千瓦时为150×

0.598元．低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×

0.288元，后50千瓦时为50×

0.318元，∴电价为50×

0.568＋150×

0.598＋50×

0.288＋50×

0.318＝148.4（元