深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案与评分标准Word格式.docx
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8
9
10
B
D
A
C
二、填空题:
本大题每小题5分;
第14、15两小题中选做一题,如果两题都做,以第14题的得分为最后得分),满分20分.
11..12..13..14..15..
三、解答题:
本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,,(),且.
(1)求点的坐标;
(2)若角的顶点都为坐标原点且始边都与轴的非负半轴重合,终边分别经过点,求的值.
解:
(1)
………………….2分
解得,
所以,………………….6分
(2)由
(1)可知,
,……………………………….10分
……………………………….12分
【说明】本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以及向量的有关知识.考查了运算能力.
17.(本小题满分12分)
一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生
数学(分)
物理(分)
(1)要从名学生中选人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于分的概率;
(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程.
(1)从名学生中任取名学生的所有情况为:
、、、、、、、、、共种情况.………3分
其中至少有一人物理成绩高于分的情况有:
、、、、、、共种情况,
故上述抽取的人中选人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率.…………………………………………5分
(2)散点图如右所示.……………………………………………6分
可求得:
==,
==,……………………………………………8分
==40,
=0.75,
,……………………………………………11分
故关于的线性回归方程是:
.……………………………………………12分
【说明】本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和应用意识.
18.(本小题满分14分)
如图甲,的直径,圆上两点在直径的两侧,使,.沿直径折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),为的中点,为的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥的体积;
(2)求证:
;
(3)在上是否存在一点,使得平面?
若存在,试确定点的位置;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)为圆周上一点,且为直径,
∵为中点,,
.
∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为,
∴平面,平面.
∴就是点到平面的距离,
在中,,
.………………………………………4分
(2)在中,
为正三角形,
又为的中点,,
平面.
∴.………………………………………9分
(3)存在,为的中点.证明如下:
连接,
∴,
∵为⊙的直径,
∴
平面,平面,
∴平面.
在中,分别为的中点,
,
∴平面平面,
又平面,平面.………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.
19.(本题满分14分)
设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且是
和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:
.
(1)由已知,得………………………………………3分
解得.
设数列的公比为,则
∴.
由,可知,
由题意,得.…………………………………………………5分
故数列的通项为.…………………………………………………7分
(2)∵,…………11分
.……………………………………………14分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法”;
考查了学生的运算能力和思维能力.
20.(本题满分14分)
已知椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为,且点在该椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,椭圆的长轴为,设是椭圆上异于、的任意一点,轴,为垂足,点满足,直线与过点且垂直于轴的直线交于点,.求证:
为锐角.
20.解:
(1)设椭圆C的方程为,由题意可得,
又,∴.…………………………………………2分
∵椭圆C经过,代入椭圆方程有,
解得.…………………………………………5分
故椭圆C的方程为.…………………………………………6分
(2)设,…………………………………………7分
∵,
∴直线的方程为.…………………………………………9分
令,得.
∵,,
∴,.
∴…………………………………………12分
又、、不在同一条直线,
∴为锐角.…………………………………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力.
21.(本小题满分14分)
已知函数,是自然对数的底数.
(1)试判断函数在区间上的单调性;
(2)当,时,求整数的值,使得函数在区间上存在零点;
(3)若存在,使得,试求的取值范围.
(1)…………………………1分
由于,故当时,,所以,…………2分
故函数在上单调递增.…………………………………………3分
(2),,
,……………………………………4分
当时,,,故是上的增函数;
同理,是上的减函数.…………………………………5分
,当,,
故当时,函数的零点在内,满足条件;
故当时,函数的零点在内,满足条件.
综上所述或.………………………………………7分
(3),
因为存在,使得,所以当时,…………………………8分
①当时,由,可知,,∴;
②当时,由,可知,,∴;
③当时,.
∴在上递减,在上递增,…………………………………11分
∴当时,,
而,
设,因为(当时取等号),
∴在上单调递增,而,
∴当时,,
∴当时,,
∴,即,
设,则
∴函数在上为增函数,
∴.
即的取值范围是……………………………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
命题:
李志敏、程武军、许世清审题:
魏显峰