届高考总复习《指数函数》Word文件下载.docx
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当x<
0时，y>
1；
当x>
0时，0<
y<
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）函数y＝a－x是R上的增函数．（ ）
（2）函数y＝ax2＋1（a>
1）的值域是（0，＋∞）．（ ）
（3）函数y＝2x－1是指数函数．（ ）
（4）若am<
an（a>
0，且a≠1），则m<
n.（ ）
答案：
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
若函数f（x）＝（2a－5）·
ax是指数函数，则f（x）在定义域内（ ）
A．为增函数 B．为减函数
C．先增后减D．先减后增
解析：
选A.由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f（x）＝3x，所以f（x）在定义域内为增函数．
已知函数f（x）＝ax－2＋2（a>
0且a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（2，3）
C．（3，2）D．（2，2）
选B.令x－2＝0，则x＝2，f
（2）＝3，即A的坐标为（2，3）．
函数f（x）＝的值域为________．
由1－ex≥0，得ex≤1，
故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}．
所以0<
ex≤1，－1≤－ex<
0，0≤1－ex<
1，
所以函数f（x）的值域为[0，1）．
[0，1）
（教材习题改编）若指数函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．
由题意知0<
a2－1<
1，即1<
a2<
2，
得－<
－1或1<
.
（－，－1）∪（1，）
指数函数的图象及应用（典例迁移）
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>
1，b<
B．a>
1，b>
C．0<
D．0<
（2）若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．
【解析】
（1）由f（x）＝ax－b的图象可以观察出函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<
1.函数f（x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<
0.
（2）函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．
【答案】
（1）D
（2）{0}∪[1，＋∞）
[迁移探究1] （变条件）若本例
（2）的条件变为：
方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________．
作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>
[迁移探究2] （变条件）若本例
（2）的条件变为：
函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．
作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．
由图象知k≤－1，即k∈（－∞，－1]．
（－∞，－1]
[迁移探究3] （变条件）若本例
（2）的条件变为：
函数y＝|3x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？
解：
由本例
（2）作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在（－∞，0]上单调递减，所以k∈（－∞，0]．
指数函数图象的画法及应用
（1）画指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），.
（2）与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
（3）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
1．（2019·
河北武邑中学调研）函数y＝e－|x－1|的大致图象是（ ）
选B.因为－|x－1|≤0，所以0<
e－|x－1|≤e0，即0<
y＝e－|x－1|≤1，故选B.
2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a>
0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
（1）当0<
1时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<
2a<
1，所以0<
（2）当a>
1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a>
1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0<
指数函数的性质及应用（多维探究）
角度一 比较指数幂的大小
已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是（ ）
A．c<
b B．b<
c
C．a<
c<
bD．a<
b<
【解析】 把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，又>
>
，所以<
<
，即b<
c.
【答案】 B
角度二 解简单的指数方程或不等式
设偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则{x|f（x－2）>
0}＝（ ）
A．{x|x<
－2或x>
4}B．{x|x<
0或x>
4}
C．{x|x<
6}D．{x|x<
2}
【解析】 f（x）为偶函数，当x<
0时，
f（x）＝f（－x）＝2－x－4.
所以f（x）＝当f（x－2）>
有或
解得x>
4或x<
角度三 研究指数型函数的性质
（1）函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________．
（2）已知函数f（x）＝2|2x－m|（m为常数），若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】
（1）令t＝，
因为x∈[－3，2]，
所以t∈，
故y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
（2）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f（x）＝2|2x－m|在[2，＋∞）上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是（－∞，4]．
【答案】
（1）
（2）（－∞，4]
综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略
常考题型
求解策略
比较幂值的大小
（1）能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小
（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性（区间）、奇偶性、最值（值域）等性质的方法一致
[注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
1．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
当a＞1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．当0<
1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.
－
2．函数f（x）＝的单调减区间为________．
设u＝－x2＋2x＋1，
因为y＝在R上为减函数，
所以函数f（x）＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为（－∞，1]，
所以f（x）的减区间为（－∞，1]．
（－∞，1]
换元法求解指数型函数的有关问题
已知函数f（x）＝4x＋m·
2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．
【解】 设t＝2x，则f（x）＝4x＋m·
2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数f（x）＝4x＋m·
2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即f（x）＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，
解得m≥－.
所以m的取值范围为.
（1）此例题利用了换元法，把函数f（x）转化为y＝t2＋mt－2，其中t∈，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．
（2）对于同时含有ax与a2x（a>
0且a≠1）的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；
对数型函数的类似问题，也要用换元法．
已知函数f（x）＝，a为常数，且函数的图象过点（－1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）＝4－x－2，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值．
（1）由已知得＝2.
解得a＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝，
又g（x）＝f（x），则4－x－2＝，
所以－－2＝0，
令＝t，则t>
0，t2－t－2＝0，即（t－2）（t＋1）＝0，
又t>
0，故t＝2，即＝2.解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
[基础题组练]
1．函数f（x）＝ax－1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（ ）
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1D．y＝log2（2x）
2．函数y＝ax－（a>
0，a≠1）的图象可能是（ ）
3．若函数f（x）＝x，则函数f（x）的图象关于（ ）
A．原点对称B．x轴对称
C．y轴对称D．y＝x对称
4．若函数f（x）＝a|2x－4|（a>
0，a≠1），满足f
（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，2]B．[2，＋∞）
C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]
5．不等式a2x－7>
a4x－1（0<
1）的解集为____________．
6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
7．已知函数f（x）＝.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最大值等于，求a的值．
8．已知函数f（x）＝b·
ax（其中a，b为常量，且a>
0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若不等式（）x＋（）x－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围
[综合题组练]
1．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是（ ）
A.B.
C.D．[2，＋∞）
2．（应用型）（2019·
湖南衡阳三中月考）当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·
4x－2x<
0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－2，1）B．（－4，3）
C．（－3，4）D．（－1，2）
3．（2019·
贵阳监测）已知函数f（x）＝ax－1（a>
0，且a≠1）满足f
（1）>
1，若函数g（x）＝f（x＋1）－4的图象不过第二象限，则a的取值范围是____________．
4．（应用型）已知函数f（x）＝设a>
b≥0，若f（a）＝f（b），则b·
f（a）的取值范围是________．
5．已知函数f（x）＝a|x＋b|（a>
0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，试求a，b应满足的条件．
6．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）解关于t的不等式f
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